Calcule ∬ D   x + y d x d y , onde D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0).

Passo 1

Vamos fazer um esboço desse triângulo para visualizar melhor o problema

Passo 2

Faaala aí, tranquilinho?

Devemos escrever essa região de forma matemática. Perceba y varia entre 2 números: 0 e 1 , assim, temos 0 ≤ y ≤ 1 .

Já em x , essa área é limitada na esquerda pela reta azul e na direita pela vermelha, certo? Assim, podemos escrever essa região como do tipo II, basta encontrar as equações dessas retas.

Para a reta azul

Temos dois pontos que pertencem a essa reta, ( - 1,0 ) e ( 0,1 ) , vamos substituí-los na equação geral de uma reta: y = a x + b . Teremos:

0 = - a + b 1 = b

Substituindo o b que temos na primeira equação, ficamos com

0 = - a + 1

a = 1

Substituindo a e b , vemos que a reta será escrita como y = x + 1 . Porém, como nossa região será escrita como do tipo II, devemos isolar o x , ou seja, achar x em função de y .

x = y - 1

Para a reta vermelha

Usando o mesmo raciocínio para descobrir a equação dessa reta, vamos substituir os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) na equação geral da reta. Teremos:

1 = b 0 = a + b

Substituindo b na nossa equação de baixo, ficamos com:

0 = a + 1

a = - 1

Substituindo a e b , encontramos y = - x + 1 . Isolando novamente o x , teremos:

x = 1 - y

Assim, o domínio será escrito como:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ; y - 1 ≤ x ≤ 1 - y }

E nossos limites, então são

0 ≤ y ≤ 1

y - 1 ≤ x ≤ 1 - y

Passo 3

Agora vamos montar a integral! Basta substituir os intervalos que acabamos de encontrar.

∬ D   x + y d x d y = ∫ 0 1   ∫ y - 1 1 - y x + y   d x d y =

Passo 4

Vamos começar então olhando só a integral de dentro!

∫ y - 1 1 - y x + y   d x

Integrando isso em relação a x (Lembrando que y aqui é como se fosse uma constante) temos:

= x 2 2 + x y x = y - 1 x = 1 - y

Vamos substituir então onde tem x pelos valores dos limites e subtrair o superior do inferior! Ficamos então com:

= 1 - y 2 2 + 1 - y y - y - 1 2 2 + y - 1 y  

= ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 + y 2 - y  

( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 - y 2 + y

Separando os termos da fração, ficamos com

1 2 - y + y 2 2 + y - y 2 - y 2 2 + y - 1 2 - y 2 + y

Agora ta mais fácil de juntar os termos em comum né? Então vamo la pra deixar isso mais bonitinho

- 2 y 2 + 2 y

Passo 5

Shoooow! Vamos pegar o resultado da integral e aplicar na integral de fora!

= ∫ 0 1 - 2 y 2 + 2 y   d y =

Essa integral é mais de boinhas de fazer, e fica assim:

= - 2 y 3 3 + 2 y 2 2 y = 0 y = 1 =

Podemos cortar 2 2 na segunda fração e isso da pra gente

= - 2 y 3 3 + y 2 y = 0 y = 1 =

Substituindo os valores dos limites, ficamos com

- 2 ⋅ 1 3 3 + 1 2 - - 2 ⋅ 0 3 3 + 0 2

Então ficamos com

= - 2 3 + 1 - 0

Que é - 2 3 + 1

Pra resolver isso, vamos fazer isso aqui

- 2 3 + 3 3

Que nos dá

1 3

Resposta

∬ D   x + y d x d y = 1 3

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 2

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