- Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:
Passo 1
Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano todas as curvas dadas. Vamos começar aqui colocando as mais simples primeiro: e .
A primeira, , nada mais é do que uma reta, afinal de contas
e a segunda , bem... essa é o próprio eixo .
Agora, quanto a terceira, , preciso de você certa atenção, pois isolando, nós temos...
e todo gráfico de raiz de forma tem essa cara:
Porém...! Como estamos falando de raiz cúbica, ela deve valer para os negativos também, nos gerando...
Beleza?
O legal é que já dá pra ver que região (chamaremos de ) estamos trabalhando! :D
Agora temos que descrever essa região, e vamos fazer isso descrevendo em qual tipo?
Do tipo 2! Isso porque é muito mais fácil encontrar as funções em que está variando e deixar variando entre dois valores!
Passo 2
Nesse tipo de região, devemos ter que varia em um intervalo numérico bem definido.
O vai estar variando do até o ponto onde as curvas azul e vermelha se encontram! Então é só resolvermos o sistema:
Substituindo a segunda equação na primeira:
A gente pode ver que a única solução real disso é o !
Logo:
Passo 3
Bem quanto à variação do dentro dessa região, ele entra na equação na curva vermelha
e sai na reta azul
Ou seja
E as funções da curva vermelha e da reta azul, são essas aqui:
Passo 4
A área de uma região é:
como a região acabamos de descrevê-la
Podemos simplesmente substituir na integral dupla, lembrando que vamos começar integrando em relação a porque ele depende de
Bora resolver essa integral aí?
Passo 5
Primeiro calculemos a integral de dentro...
Isso da pra gente:
Substituindo os limites de integração em ...
Agora vamos pegar essa expressão e colocar na integral de fora:
Calculando essa integral...
substituindo os limites encontramos...
Somando isso ai, temos
Que nos da