Questão 1: Calcule a integral dupla
Onde
Passo 1
Opaa, fala aiii! Vamo meter bronca nessas integrais duplas!
Nossa primeira tarefa em integrais duplas como essa é descrever de alguma forma a região que está sendo usada para integrar a função.
E assim, é uma ótima prática antes desenhar a região para entender o que fazer com essa descrição. Vamos nessa?!
A nossa região basicamente é formada pelo círculo de raio e centrado na origem:
Porém, o enunciado nos delimita esse círculo dizendo que só queremos os pontos que tem . POW! é uma reta passando em e paralela ao eixo .
O sinal de maior significa que vamos pegar os pontos a sua direita:
Prontinho! Essa é a nossa região !
Passo 2
Perceba que podemos descrever essa função como uma região o tipo , onde o varia em um intervalo numérico bem definido:
E o varia de uma base ao um teto:
Onde o teto representa a parte de cima do círculo, e a base, a parte de baixo...
De onde vêm essas duas partes? ORA! Da equação da circunferência que delimita o círculo...
A parte de baixo é aparte negativa da raiz, enquanto a positiva...
Passo 3
Com isso, vamos para a integral...
Que podemos separar em duas integrais, a de dentro e a de fora, as
sim
Passo 4
Vamos começar calculando a nossa integral de dentro
Ficamos com
Substituindo os valores, temos
E isso dá pra gente
Passo 5
Colocando isso na nossa integral de fora, ficamos com
Para calcular essa integral aí, é válida uma substituição simples...
Mudando também os limites...
Uma dica que vou dar pra vocês aqui é que podemos inverter a ordem de integração se multiplicarmos por ...
Substituindo os valores, ficamos com: