Calcule , onde é a região limitada pela reta e pela parábola
Passo 1
Opa, fala ai, beleza? Vamos começar com nossos exercícios de região tipo 2!!
Vamos começar lembrando o que é uma região tipo 2? Região tipo 2 é aquela que em é delimitada por números e em é delimitada por funções!
Agora que já temos isso relembrado, vamos fazer um esboço para entender melhor a questão.
Passo 2
Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o , não o , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao .
Como o número que multiplica é positivo, ela está virada para a direita (onde é positivo)
Fazendo , vemos que a parábola possui raízes (corta o eixo ):
Passo 3
Agora precisamos analisar a reta. Como o número que multiplica o é positivo, ela está virada para a direita.
Passo 4
O que estamos fazendo é uma análise rápida das equações do domínio, você não deve se preocupar em fazer um gráfico perfeito! Isso é apenas para termos uma noção do formato da área na hora de escrevê-la.
Então vamos juntar esses nossos gráficos em um só!
Passo 5
Essa região pode ser escrita tanto como tipo I como II. Porém, no primeiro caso seria preciso dividi-la em duas, pois na esquerda ela está limitada em cima e embaixo pela parábola e na direita, pela parábola e pela reta.
Já se escrevermos como tipo II, a questão fica mais simples, pois teremos apenas a parábola na esquerda e a reta na direita.
É importante que você faça essas análises, para evitar contas desnecessárias!
Escrevendo como tipo II, então, precisamos colocar as equações da reta e da parábola em função de , isolando o :
Assim, teremos:
Para encontrar o intervalo de , temos que fazer a interseção (os pontos em comum) entre as duas funções, igualando uma à outra.
Resolvendo por bhaskara, temos que:
Então temos os seguintes limites de
Portanto, temos e nosso domínio será:
Passo 6
Vamos substituir esses valores na integral para saber quem vamos integrar!
Passo 7
Agora vamos dar uma olhada só na integral de dentro e integrar em relação a , lembrando que quando a gente integra em relação a , tomamos como constante
Agora para deixar isso tudo em um denominador só vamos multiplicar o primeiro termo em cima e embaixo por , então ficamos com
Fazendo a distributiva, temos
Ajeitando isso ai, temos
Passo 8
Vamos integrar, então, em relação a :
Podemos separar os termos da fração desse jeitinho aqui:
E podemos simplificar para ficar com:
Agora resolvendo essa integral a gente fica com:
Substituindo os limites em (e com ajuda da nossa amiga calculadora rs) temos que:
Simplificando essas frações temos algo assim: