Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

2. vendo Ω   como domínio de tipo 2

Passo 1

Escrevendo agora como uma do tipo 2 teremos y variando entre constantes e o x variando entre funções. Vamos fazer uma nova separação, mas dessa vez em três regiões:

Escreveremos nossa integral fazendo a região azul, mais a região laranja inteira (incluindo a parte com as bolinhas pretas), menos a região laranja com bolinhas pretas.

Passo 2

Mas como a região é do tipo 2 queremos o y variando entre números e x variando entre funções, vamos precisar isolar o x nas funções.

A → x - 3 2 + y 2 = 9

x - 3 2 = 9 - y 2

x - 3 = ± 9 - y 2

x = 3 ± 9 - y 2

Fazendo a mesma coisa para B e C , temos que

B → x - 1 2   + y 2 = 1 → x = 1 ± 1 - y 2

C → x - 4 2 + y 2 = 4 → x = 4 ± 4 - y 2

Passo 3

Bom, para escrever primeiro a região azul, temos que x está variando na região C e y ta variando de - 2 a   0 faremos:

∫ - 2 0 ∫ 4 - 4 - y 2 4 + 4 - y 2 x + y   d x d y

Passo 4

Pra descrever a região laranja toda (incluindo a região laranja com bolinhas), temos y variando de 0 a   3 e x vai estar variando na região A

∫ 0 3 ∫ 3 - 9 - y 2 3 + 9 - y 2 x + y   d x d y

Passo 5

Bom, para escrever primeiro a região bolinhas pretas, temos que x está variando na região B e y ta variando de 0 a   1 , então faremos:

∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 x + y   d x d y

Passo 6

Então totalizando temos:

Vamos fazer

∬ A x + y   d x d y + ∬ C x + y   d x d y - ∬ B x + y   d x d y

∫ - 2 0 ∫ 4 - 4 - y 2 4 + 4 - y 2 x + y   d x d y + ∫ 0 3 ∫ 3 - 9 - y 2 3 + 9 - y 2 x + y   d x d y - ∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 x + y   d x d y

Uhul, pelo menos não precisamos calcular esse monstrão, porque ele só pede pra reescrever a integral hehe 😊

Resposta

∫ - 2 0 ∫ 4 - 4 - y 2 4 + 4 - y 2 x + y   d x d y + ∫ 0 3 ∫ 3 - 9 - y 2 3 + 9 - y 2 x + y   d x d y - ∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 x + y   d x d y

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 2

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