Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

ln tan x 2 sec x - 2 sin x tan 2 x 2 ln tan 2 x 2 sin 2 x d x

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar reorganizar essa integral que ela ta meio bagunçada. Como? Bem, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é ver o que dá pra por em evidência. No caso, só dá o ln tan 2 x 2 mesmo. Vamos ficar então com:

ln tan x 2 sec x - 2 sin x tan 2 x 2 sin 2 x d x

Ok mas isso aiiinda não ajuda tanto. O jeito agora é usar relações trigonométricas pra tirar os termos mais malucos daí. Saca só:

sec x = 1 cos x

sin 2 x = 2 sin x cos x

Então ficamos com:

ln tan x 2 1 cos x - 2 sin x tan 2 x 2 2 sin x cos x d x

ln tan x 2 1 cos x - tan 2 x 2 cos x d x

ln tan x 2 1 - tan 2 x 2 cos x d x

Vamos substituir o cosseno pela forma da teoria:

ln tan x 2 1 - tan 2 x 2 cos x d x = ln tan x 2 1 - tan 2 x 2 1 - tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2 d x

ln tan x 2 1 + tg 2 x 2 d x

Opa, agora sim! Temos duas vezes tg 2 x 2 aparecendo na integral, o que nos dá a pista que vamos precisar usar a substituição u = tg x 2 . Com essa substituição, achamos o d u também dessa forma aqui ó:

d u d x = 1 2 1 + tg 2 x 2 d x 2 d u = 1 + tg 2 x 2 d x

A integral então vai ficar:

2 ln u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Geralmente quando a gente cai numa integral do tipo 1 u , por exemplo, a gente já tira de letra que o resultado é ln u . Mas e se a integral for de ln u , como fica?

Bem, como já sabemos derivar bem a função ln u , vamos tentar fazer então uma integração por partes, beleza? Então se escolhermos:

f = ln u d f d u = 1 u d f = d u u

E escolhermos também:

d g = 2 d u g = 2 u

A integração por partes, que tem a expressão geral:

f   d g = f g - g   d f

Vai ficar:

2 ln u d u = 2   u   l n   u - 2 u u d u = 2   u   l n   u - 2 d u

2 ln u d u = 2   u   l n   u - 2 u = 2 u   ln u - 1

Passo 3

Agora pra fechar com chave de ouro, só voltar pra variável original. Achamos:

f x = ln tan x 2 sec x - 2 sin x tan 2 x 2 ln tan 2 x 2 sin 2 x

f x d x = 2 u   ln u - 1

Como u = tg x 2 , então:

f x d x = 2 tg x 2   ln tg x 2 - 1

Resposta

f x d x = 2 tg x 2   ln tg x 2 - 1

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