Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

∫ 1 c o s   x   d x

Passo 1

Vamos substituir o cosseno em função da x 2   , como na nossa teoria:

c o s   x   = 1 - x 2   1 + x 2  

Assim, teremos:

∫ 1 c o s   x   d x = ∫ 1 1 - x 2   1 + x 2   d x

= ∫ 1 + x 2   1 - x 2   d x

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Passo 2

Logo, fazendo:

u = x 2     →       d u = 1 2 1 + x 2   d x

∫ 1 + x 2   d x 1 - x 2   = ∫ 2 d u 1 - u 2

Podemos reescrever esse cara abrindo um produto notável do seu denominador:

∫ d u 1 - u 2 = ∫ 2 d u 1 + u 1 - u

Passo 3

Agora a gente tem que abrir essa integral em frações parciais:

2 1 + u 1 - u = A 1 + u + B 1 - u

1 1 + u 1 - u = A 1 - u + B 1 + u 1 + u 1 - u

0 u + 1 1 + u 1 - u = B - A u + A + B 1 + u 1 - u

Caímos nesse sistema:

{ A + B = 2 B - A = 0  

A = B = 1

Passo 4

Assim, a integral fica com essa cara:

∫ d u 1 + u 1 - u = ∫ 1 1 + u d u + ∫ 1 1 - u d u

= l n   1 + u   - l n   1 - u   + C

= l n   1 + u 1 - u   + C

Desfazendo a substituição do u = x 2   :

∫ 1 c o s   x   d x = l n   1 + x 2   1 - x 2     + C

Resposta

∫ 1 c o s   x   d x = l n   1 + x 2   1 - x 2     + C

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