Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos substituir o seno e o cosseno pelas formas da teoria:

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 + 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

= ∫ 1 2 tg ⁡ x 2 + 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x - tg 2 ⁡ x 2 + 2 tg ⁡ x 2 + 1

Repara, substituindo u = tg ⁡ x 2 e tirando o 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x como 2 d u , já que:

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Teremos,

∫ 2 d u - u 2 + 2 u + 1 = - ∫ 2 d u u 2 - 2 u - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicamos Bhaskara no termo de baixo para abrí-lo como dois polinômios do primeiro grau:

- 2 ∫ d u u 2 - 2 u - 1 = - 2 ∫ d u u + 1 + 2 u + 1 - 2

Agora temos que fazer frações parciais:

1 u + 1 + 2 u + 1 - 2 = A u + 1 + 2 + B u + 1 - 2

1 u + 1 + 2 u + 1 - 2 = A u + 1 - 2 + B u + 1 + 2 u + 1 + 2 u + 1 - 2

0 u + 1 u + 1 + 2 u + 1 - 2 = A + B u + A - 2 A + B + 2 B u + 1 + 2 u + 1 - 2

Nessa situação, temos que resolver o seguinte sistema:

A + B = 0 A - 2 A + B + 2 B = 1

B = - A

A - 2 A + - A + 2 - A = 1     →     - 2 2 A = 1

A = - 1 2 2       ;       B = 1 2 2

Passo 3

Logo, a integral vai ficar assim:

- 2 ∫ d u u + 1 + 2 u + 1 - 2 = 2 ∫ 1 2 2 d u u + 1 + 2 - ∫ 1 2 2 d u u + 1 - 2

= 2 1 2 2 ln ⁡ u + 1 + 2 - 1 2 2 ln ⁡ u + 1 - 2 + C

Desfazemos a substituição do u :

2 1 2 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 + 2 - 1 2 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 - 2 + C

Dando uma rearrumada com propriedades do log:

= 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 + 2 tg ⁡ x 2 + 1 - 2 + C

Resposta

∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x 2 + 1 + 2 tg ⁡ x 2 + 1 - 2 + C

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