Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 sec ⁡ x - 2 sin ⁡ x t g 2 ⁡ x 2 ln ⁡ t g 2 ( x 2 ) sin ⁡ 2 x d x

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar reorganizar essa integral que tá maior zona! Pra isso, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é ver o que dá pra por em evidência. No caso, só dá o ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 mesmo. Vamos ficar então com:

∫ ln ⁡ t g 2 ⁡ x 2 sec ⁡ x - 2 sin ⁡ x t g 2 ⁡ x 2 sin ⁡ 2 x d x

Top! Mas ainda parece impossível de resolver. O jeito agora é usar relações trigonométricas pra tirar os termos mais malucos daí. Saca só:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

Então ficamos com:

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x tg 2 ⁡ x 2 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 cos ⁡ x - t g 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x d x

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x d x

Vamos substituir o cosseno pela forma da teoria:

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 - t g 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 - t g 2 ⁡ x 2 1 - tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

∫ ln ⁡ tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Obs: caso você tenha boiado nesse passo, se liga no flashback de divisão entre frações:

4 2 3 = 4 1   ÷ 2 3 =   4 1   × 3 2 = 6  

Sacou? Beleza! Bora seguir o baile...

Opa, agora sim! Temos duas vezes tg 2 ⁡ x 2 aparecendo na integral, o que nos dá a pista que vamos precisar usar a substituição u = tg ⁡ x 2 . Com essa substituição, achamos o d u também dessa forma aqui ó:

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

A integral então vai ficar:

∫ 2 ln ⁡ u 2 d u = ∫ 4 ln ⁡ u d u = 4 ∫ ln ⁡ u d u  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Geralmente quando a gente cai numa integral do tipo 1 u , por exemplo, a gente já tira de letra que o resultado é ln ⁡ u . Vamos esquecer, por enquanto, o 4 que tá multiplicando a integral.

Bem, como já sabemos derivar bem a função ln ⁡ u , vamos tentar fazer então uma integração por partes, beleza? Então se escolhermos:

f = ln ⁡ u → d f = 1 u d u → d f = d u u

E escolhermos também:

d g = 1 d u → g = u

A integração por partes, que tem a expressão geral:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Vai ficar:

∫ ln ⁡ u d u =   u   l n   u - ∫ u u d u =   u   l n   u - ∫ 1 d u

∫ ln ⁡ u d u =   u   l n   u - u + c = u   ln ⁡ u - 1 + c

E multiplicando essa parada toda pelo nosso 4 que tinha no início:

4 u   ln ⁡ u - 1 + 4 c

Obs: a constante C ser multiplicada por 4 não faz diferença. Esta constante representa uma família de valores e, por isso, podemos desconsiderar o 4. Tipo assim:

4 u   ln ⁡ u - 1 + c

Beleza! Essa é a resposta da nossa questão. Mas a gente não pode esquecer de voltar da variável u pra x, ok?

Passo 3

Agora pra fechar com chave de ouro, só voltar pra variável original. Lembrando que u = tg ⁡ x 2 , então:

∫ f x d x = 4 tg ⁡ x 2   ln ⁡ tg ⁡ x 2 - 1 + c

Resposta

4 tg ⁡ x 2   ln ⁡ tg ⁡ x 2 - 1 + c

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