Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

1 cos x d x

Passo 1

Vamos substituir o cosseno em função da tg x 2 , como na nossa teoria:

cos x = 1 - tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2

Assim, teremos:

1 cos x d x = 1 1 - tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2 d x

= 1 + tg 2 x 2 1 - tg 2 x 2 d x

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Passo 2

Logo, fazendo:

u = tg x 2         d u = 1 2 1 + tg 2 x 2 d x

1 + tg 2 x 2 d x 1 - tg 2 x 2 = 2 d u 1 - u 2

Podemos reescrever esse cara abrindo um produto notável do seu denominador:

d u 1 - u 2 = 2 d u 1 + u 1 - u

Passo 3

Agora a gente tem que abrir essa integral em frações parciais:

2 1 + u 1 - u = A 1 + u + B 1 - u

1 1 + u 1 - u = A 1 - u + B 1 + u 1 + u 1 - u

0 u + 1 1 + u 1 - u = B - A u + A + B 1 + u 1 - u

Caímos nesse sistema:

B - A = 0 A + B = 2

A + B = 1

Passo 4

Assim, a integral fica com essa cara:

d u 1 + u 1 - u = 1 1 + u d u + 1 1 - u d u

= ln 1 + u - ln 1 - u + C

= ln 1 + u 1 - u + C

Desfazendo a substituição do u = tg x 2 :

1 cos x d x = ln 1 + tg x 2 1 - tg x 2 + C

Resposta

1 cos x d x = ln 1 + tg x 2 1 - tg x 2 + C

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