Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Calcule a integral:

tan x 2 sinh tan x 2 sin x d x

Passo 1

Vamos substituir o seno pela forma da teoria:

tan x 2 sinh tan x 2 sin x d x = tan x 2 sinh tan x 2 2 tg x 2 1 + tg 2 x 2 d x

= tan x 2 sinh tan x 2 1 + tg 2 x 2 2 tan x 2 d x = 1 2 sinh tan x 2 1 + tg 2 x 2 d x  

Repara, substituindo u = tg x 2 e tirando o 1 + tg 2 x 2 d x como 2 d u , já que:

d u = 1 2 1 + tg 2 x 2 d x 2 d u = 1 + tg 2 x 2 d x

Teremos,

1 2 sinh tan x 2 1 + tg 2 x 2 d x   = 1 2 sinh u 2 d u = sinh u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, a integral que restou é tranquila e direta de resolver. Temos que:

sinh u d u = cosh u

Voltando à variável original, u = tg x 2 , ficamos com:

tan x 2 sinh tan x 2 sin x d x = cosh tg x 2 + C

Resposta

tan x 2 sinh tan x 2 sin x d x = cosh tg x 2 + C

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