Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Ache as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A = 1 ,   0 ,   1 e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

Passo 1

O enunciado nos pede as equações da reta na forma vetorial, paramétrica e simétrica e simplesmente nos fala que a reta que queremos encontrar passa pelos pontos A e B . Mas, como vou escrever as equações se só tenho pontos??

Acho que já sei!!! Para determinar uma reta eu preciso do vetor diretor e de um ponto que a reta passa, certo? Corretíssimo!!!

Bem, eu tenho o ponto, mas falta o vetor diretor! O vetor diretor, nos dá a direção da reta! Perfeito!! E, como eu tenho dois pontos dessa reta, eu posso dizer que o meu vetor diretor é formado por esses dois pontos!!! Bingoo, é isso mesmo!! Como podemos ver na figura abaixo:

Passo 2

Então, vamos começar definindo o nosso vetor diretor que será A B → ou B A → . Tanto faz o sentido dos vetores, aqui não importa o sentido, mas a direção!! Escolhendo A B → :

A B → = B - A = 0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 = - 1 ,   1 ,   - 1

A B → = ( a ,   b ,   c ) = - 1 ,   1 ,   - 1

Definido o vetor diretor, vamos escolher um dos pontos A ou B para colocarmos nas expressões. Como eu gosto da letra A , vou escolher essa para escrever as equações da reta. Você pode escolher o B que não estará errado.

Agora, para determinar as equações é o mesmo processo que fizemos no exercício anterior. Mão na massa!!

Temos, que a ,   b ,   c = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e como escolhi o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Assim, nossa Equação Vetorial da reta, fica:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 3

Agora, que já temos a equação vetorial escrever a paramétrica fica mais fácil ;). Como sabemos que o jeitão da paramétrica é:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, substituindo os valores, temos a Equação Paramétrica da reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, só falta a equação simétrica!!

Que é escrita assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Nosso a ,   b ,   c = A B → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Então, teremos:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

Resposta

Equação Vetorial da Reta:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Equação Paramétrica da Reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Equação Simétrica da Reta:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

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