Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Determinar o ponto de interseção das retas

r :   3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0       e       s :   x = 1 4 x + y - z - 9 = 0

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas r e s e pede para determinarmos a interseção dessas duas retas. Como são retas, precisamos determinar o ponto em que as duas se cruzam.

Pela figura devemos determinar o ponto P . O ponto onde as retas se cruzam é o único ponto em que as duas retas tem em comum certo? Isso aí!!

Então, basta igualarmos as expressões das retas, a fim de achar as componentes de P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 2

Vamos começar então!!! Primeiro vamos analisar as equações das retas dadas:

r :   3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0       e       s :   x = 1 4 x + y - z - 9 = 0

Aqui não precisamos nos preocupar em tentar descobrir em qual formato está cada equação, porque se você ver as equações da reta r não estão em nenhum dos formatos de equações que vimos, masss, isso não importa ;). Pelas expressões da reta s sabemos que x deve valer 1 . Pronto! Já temos um ponto de partida!

x = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir x = 1 em todas as expressões tanto de r como de s .

r :   3 + y + 6 z + 13 = 0 9 + 3 y + 5 z = 0       e     s :   x = 1 4 + y - z - 9 = 0  

Temos o seguinte sistema:

y + 6 z = - 16             ( 1 ) 3 y + 5 z = - 9             ( 2 ) y - z = 5                             ( 3 )

Com essas três equações devemos achar o valor de y e z . Subtraindo a equação ( 3 ) da equação ( 1 ) , temos:

7 z = - 21 → z = - 3

Substituindo   z = - 3 , na equação ( 3 ) , temos:

y - z = 5 → y + 3 = 5 → y = 2

Como, z = - 3 e y = 2 devem ser valores válidos em todas as expressões 1 ,   2 e 3 . Então, basta vermos se esses valores são satisfeitos pela equação ( 2 ) .

3 y + 5 z = - 9

3 2 + 5 . ( - 3 ) = - 9

Portanto, satisfaz, assim as retas se interceptam no ponto     P = 1 ,   2 ,   - 3 .

Importante: Se os valores encontrados não satisfizessem todas as equações, então, significaria, que as retas não possuem um ponto em comum, ou sejam, não se interceptam em nenhum lugar.

Resposta

P = 1 ,   2 ,   - 3

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