Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Considere as retas r e s dadas respectivamente pelas equações:

r   :   x - 2 y + 3 z = 1 - x + y - 2 z =   - 2 e s   : 1 - x 3 = y = z + 2 2 .

Temos que r e s são:

a) concorrentes;

b) reversas e ortogonais;

c) coincidentes;

d) reversas e não ortogonais;

e) paralelas e distintas.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bom?

Nessa questão recebemos as equações de duas retas:

r   :   x - 2 y + 3 z = 1 - x + y - 2 z =   - 2

E

s   : 1 - x 3 = y = z + 2 2

Precisamos determinar qual a relação dessas duas retas, se são concorrentes, reversas, paralelas...

Pra fazer isso, vamos primeiro verificar se há intercessão entre as retas, depois identificamos quem são os vetores diretores dessas retas, e usamos produto escalar entre eles para saber se as retas são ortogonais ou não.

Passo 2

Para determinar se há intersecção entre as retas podemos encontrar a equação vetorial das retas.

Começando por r , temos:

r   :   x - 2 y + 3 z = 1 - x + y - 2 z =   - 2

Fazendo z = λ , ficamos com:

r   :   x - 2 y + 3 λ = 1 - x + y - 2 λ =   - 2

Da primeira equação:

x = 1 + 2 y - 3 λ

Da segunda equação:

x = 2 + y - 2 λ

Igualando as duas equações:

1 + 2 y - 3 λ = 2 + y - 2 λ

∴ y = 1 + λ

Logo:

x = 3 - λ

Assim, se um ponto X pertence a reta r , vale:

X = 3 - λ ,   1 + λ ,   λ

r : X = 3,1 , 0 + λ ( - 1,1 , 1 )

Muito bom! Vamos agora para s :

s   : 1 - x 3 = y = z + 2 2

Fazendo tudo isso igual a t , temos:

1 - x 3 = t  

∴ x = 1 - 3 t

y = t

z + 2 2 = t

∴ z =   - 2 + 2 t

Logo, se um ponto Y pertence a s , vale que:

Y = 1 - 3 t ,   t ,   - 2 + 2 t

⇒ s   : Y = 1,0 , - 2 + t ( - 3 ,   1 ,   2 )

Perfeito!

Passo 3

No passo anterior encontramos que:

r : X = 3,1 , 0 + λ - 1,1 , 1 ⇒ s   : Y = 1,0 , - 2 + t - 3 ,   1 ,   2

Vamos verificar se há alguma intersecção entre essas retas:

3,1 , 0 + λ - 1,1 , 1 = 1,0 , - 2 + t - 3,1 , 2

3 - λ ,   1 + λ ,   λ = 1 - 3 t ,   t ,   - 2 + 2 t

Daí, temos pela 2 ° coordenada:

1 + λ = t

E pela 3 ° coordenada:

λ =   - 2 + 2 t

Logo:

t - 1 =   - 2 + 2 t

∴ t = 1

⇒ λ = 0

O problema é que com essa solução, teríamos na primeira coordenada:

3 - λ = 1 - 3 t

3 - 0 = 1 - 3 ⋅ 1

3 =   - 2

Ou seja, um absurdo matemático. Portanto, as retas não são concorrentes.

Passo 4

Além disso, vimos que:

X = 3,1 , 0 + λ - 1,1 , 1

Então, o vetor diretor da reta vale ( - 1,1 , 1 ) .

Já para s , temos:

Y = 1,0 , - 2 + t - 3 ,   1 ,   2

Então, o vetor diretor da reta vale ( - 3 ,   1 ,   2 ) . Portanto, vemos que as retas não são paralelas, já que ( - 1,1 , 1 ) e ( - 3 ,   1 ,   2 ) não são linearmente dependentes.

Para testar se as retas são ortogonais, podemos verificar o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for nulo, é porque elas são ortogonais.

- 1,1 , 1 ⋅ - 3,1 , 2 = - 1 - 3 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2

= 3 + 1 + 2

= 6

Portanto, os vetores diretores também não são ortogonais.

Então, pensa comigo, elas não são concorrentes e nem paralelas, logo são???

Issoo, Reversas!

E, como os vetores diretores não são ortogonais, dizemos que elas são reversas e não ortogonais.

Prontinho, é isso pessoal! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

Letra d).

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