Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e tem a direção do vetor v → = 3 i → + 2 k → .

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto A , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor v → . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?

Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..

Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?

Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.

Passo 2

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

P x ,   y ,   z = A x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Pela teoria, sabemos que ( a ,   b ,   c ) são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é v → = ( 3 ,   0 ,   2 ) . Lembrando, que o vetor v → foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

i → → x

j → → y

k → → z

Sabemos também que o ponto A x 1 ,   y 1 ,   z 1 é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) . Como P x ,   y ,   z é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, temos tudo o precisamos, pois: A x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   2 )

Nossa equação paramétrica fica assim:

x = - 2 + t 3 y = 3 + t 0 z = - 2 + t 2         →               x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t  

Passo 4

Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!

Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o " t " . Aí fica assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores a ,   b   ou c for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor a ,   b ,   c é ( 3 ,   0 ,   2 ) . Ops!!! O b = 0 , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o a e o c , o b devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:

x - x 1

E no final, a nossa ficou   x + 2 , o menos ficou mais, porque o x 1 é - 2 , assim menos com menos ficou + . O mesmo aconteceu com o z .

Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).

Resposta

Equação Vetorial da reta:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Equação Paramétrica da Reta:

    x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t

Equações Simétricas da Reta:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

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