Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Ache o ponto de interseção da reta r , que passa pelos pontos A = 1 ,   1 ,   1 e B = ( 1 ,   2 ,   3 ) , com o plano α que tem n → = ( 2 ,   1 ,   3 ) como vetor normal e passa pelo ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) .  

Passo 1

O problema nos dá os seguintes dados.

Dados: Reta r : p a s s o   p e l o   p o n t o   A = ( 1 ,   1 ,   1 )   p a s s a   p e l o   p o n t o   B = ( 1,2 ,   3 ) Plano α : n → = ( 2 ,   1 ,   3 )   p a s s a   p e l o   p o n t o   C = ( 0 ,   0 ,   0 )

Com esses dados devemos determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano. Ahh??! Como assim? Calma!!! Lembra que lá na teoria falamos que íamos explicar direitinho no exercício?!! Então, a hora chegou!!

Bom, para começar devemos determinar as equações da reta e do plano. Mas, quais equações? Para ser mais fácil determinar o ponto de interseção, é melhor acharmos a equação geral do plano e as equações reduzidas da reta. Mais para frente ficará mais claro o porquê de escolhermos essas equações.

Passo 2

Vamos começar pelas equações reduzidas da reta. Porquê eu quero que você entenda como montar as equações reduzidas em função de y ,   vou achar as equações reduzidas da reta em função de y . Como vimos, na teoria as em função de x , vamos relembrar como chego nas em função de y . Sabemos que as reduzidas provêm das simétricas, então:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Como quero em função de y , escreverei:

x - x 1 a = y - y 1 b           e       z - z 1 c = y - y 1 b

Isolando x e z , teremos:

x = a b y - y 1 + x 1

z = c b y - y 1 + z 1

Já sabemos a equação reduzida, basta substituirmos os valores de ( a ,   b ,   c ) e ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) . Como nos é dados dois ponto que pertencem à reta A e B , então um vetor diretor pode ser A B → e o ponto podemos escolher entre A ou B , vou escolher o ponto A . Então teremos o seguintes dados:

A = 1,1 ,   1 = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 )

A B → = B - A = 1 ,   2 ,   3 - 1 ,   1 ,   1 = 0 ,   1 ,   2 = ( a ,   b ,   c )

Substituindo nas equações reduzidas temos:

x = 1 z = 2 y - 1

Passo 3

Agora, vamos determinar a equação geral do plano. Temos, o vetor normal n → = ( 2 ,   1 ,   3 ) e o ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) que pertence ao plano. Subsituindo os valores de n → = ( 2 ,   1 ,   3 ) na equação geral do plano temos:

a x + b y + c z + d = 0 → 2 x + y + 3 z + d = 0

Para acharmos d substituiremos C .

2.0 + 0 + 3.0 + d = 0 → d = 0

Assim,

2 x + y + 3 z = 0

Passo 4

Já temos todas as equações que precisamos! Podem os montar o seguinte sistema de equações:

x = 1                                                             ( 1 ) z = 2 y - 1                                       ( 2 ) 2 x + y + 3 z = 0                   ( 3 )

Para acharmos o ponto I = ( x ,   y ,   z ) que é o ponto da interseção basta acharmos as coordenadas que satisfazem as 3 equações acima. Entendeu agora porque escolhi as equações reduzidas da reta e a equação geral do plano?

Resolvendo o sistema temos que x deve ser x = 1 . Substituindo x = 1 na equação ( 3 ) teremos:

x = 1       z = 2 y - 1 2 + y + 3 z = 0

Multiplicando a equação ( 2 ) por - 3 e somando com a equação ( 3 ) teremos:

x = 1 - 3 z = - 6 y + 3 2 + y + 3 z = 0 →   x = 1 2 + y = - 6 y + 3 →   x = 1 y = 1 7

Agora, para achar o valor de z basta substituirmos y = 1 7 na equação ( 2 ) :

z = - 5 7

Assim, nosso ponto de interseção I é:

I = 1 ,   1 7 ,   - 5 7

Resposta

I = 1 ,   1 7 ,   - 5 7

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3