Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A ( 3 ,   1 ,   - 4 ) e é paralelo ao plano:

π 1 : 2 x - 3 y + z - 6 = 0

Passo 1

O enunciado nos pede a equação cartesiana do plano π , sendo que devemos determinar essa equação sabendo que o plano passa pelo ponto A = ( 3 ,   1 ,   - 4 ) e que o plano π é paralelo ao plano π 1 . Bem, parece que está faltando informação?! Pode até parecer, mas temos tudo o que precisamos! Vamos descobrir o que falta!!

Vamos raciocinar o que podemos tirar de informação do plano π 1 !! Bem, temos a equação geral do plano π 1 e dela podemos tirar o vetor normal ao plano π 1 , certo? Pois, sabemos que a equação geral do plano tem a seguinte forma:

a x + b y + c z + d = 0

Sendo a ,   b e c as coordenadas do vetor normal do plano π 1 , n → = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) . O problema falou que os planos π e π 1 são paralelos, então isso significa dizer que o vetor normal ao plano π 1 também é normal ao plano π . Pronto matamos a charada!!!

Passo 2

Agora que sacamos que o vetor normal de π 1 é normal também à π , então temos tudo o que precisamos para determinar a equação geral do plano π . Assim, sabendo:

A = 3 ,   1 ,   - 4

n → = 2 ,   - 3 ,   1 = ( a ,   b ,   c )

Substituindo as coordenadas de n → na equação geral temos:

a x + b y + c z + d = 0 → 2 x - 3 y + 1 z + d = 0

Passo 3

Só falta descobrirmos o valor de d substituindo A :

2.3 - 3.1 + 1 . - 4 + d = 0 → d = + 1

Então, nossa equação é:

2 x - 3 y + z + 1 = 0

Resposta

2 x - 3 y + z + 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3