Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva

Seja π o plano que é paralelo às retas reversas

r : X = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1   λ ∈ R

E

s : X = 1,1 , 1 + μ   . 1,0 , - 1     μ ∈ R

E que contém o ponto P = ( 3,3 , 1 ) . Então, π contém o ponto de coordenadas

a) 1,1 , 0

b) 1,1 , - 4

c) 1,1 , - 1

d) 1,1 , - 2

e) 1,1 , - 3

Passo 1

Fala galera, vamos pra mais um probleminha?

Aqui o exercício ta falando sobre um plano π que é paralelo a essas retas:

r : X = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1   λ ∈ R

s : X = 1,1 , 1 + μ   . 1,0 , - 1     μ ∈ R

Ou seja, ele vai possuir os mesmos vetores diretores de r e s

Além disso, o plano π contém o ponto 3,3 , 1

E aí queremos saber, quando x = y = 1 , qual o valor de z nesse plano? Isso vai nos dar o ponto 1,1 , z que é o ponto que pertence ao plano, beleza?

Então pra começar, vamos encontrar o formato geral da equação do nosso plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde a , b , c é o vetor normal que podemos encontrar a partir dos vetores diretores

Vamos?

Passo 2

O nosso plano é paralelo a essas retas:

r : X = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1   λ ∈ R

s : X = 1,1 , 1 + μ   . 1,0 , - 1     μ ∈ R

E olha só, o vetor diretor de r é u = ( 1,1 , 1 ) , e o vetor diretor de s é v = 1,0 , - 1

Então, o plano π também vai ter esses vetores diretores né? Com isso, podemos achar o vetor normal do plano:

n = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 1 0 - 1 = - 1 i ^ + 2 j ^ - 1 k ^

Logo, o vetor - 1,2 , - 1 é normal ao plano π , e podemos escrever:

π :   - x + 2 y - z + d = 0

Passo 3

Showww, então já sabemos que a equação do nosso plano vai ter esse formato:

π :   - x + 2 y - z + d = 0

Mas falta descobrir o valor de d né?

Sabemos que o ponto 3,3 , 1 está nesse plano, então vamos substituir x = 3 , y = 3 , z = 1 e podemos encontrar o valor de d :

- 3 + 2 ∙ 3 - 1 + d = 0

- 3 + 6 - 1 + d = 0

2 + d = 0

Então

d = - 2

Ebaaa, então agora temos a equação completa do nosso plano:

π :   - x + 2 y - z - 2 = 0

Passo 4

Já temos a equação do nosso plano:

π :   - x + 2 y - z - 2 = 0

Fazendo x = y = 1 , temos

- 1 + 2 - z - 2 = 0

z = - 1

Então, o ponto 1,1 , - 1 pertence ao nosso plano 😊 a alternativa correta é a letra C

Resposta

c) ( 1,1 , - 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3