Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

b) Determine a equação cartesiana do plano η que contém a reta r e o ponto Q .

Passo 1

Antes de tudo, vamos observar uma coisa: o ponto P está contido na reta r , pois se t = 0 , temos o ponto P nas equações de r .

Então, o plano que queremos vai ter vetores diretores u = ( 1 ,   1 ,   2 ) (vetor diretor de r ) e P Q = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Logo, o vetor normal do nosso plano:

u ∧ P Q = ( 3 ,   1 ,   - 2 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim

η : 3 x + y - 2 z + d = 0

Passo 2

Para encontrarmos d na equação do nosso plano, vamos substituir o ponto Q , que está contido nele:

3.2 + 1 - 2.1 + d = 0

d = - 5

Então:

η : 3 x + y - 2 z - 5 = 0

Resposta

η : 3 x + y - 2 z - 5 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3