Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Considere os pontos A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e B = ( 3 ,   2 ,   2 ) . Determine uma equação para o lugar geométrico dos pontos X que são equidistantes de A e B .

Passo 1

Vamos chamar X de um ponto genérico X = ( x ,   y ,   z ) .

A distância de X até o ponto A é

d A ,   X = x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2

A distância de X até o ponto B é

d B ,   X = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

Queremos que X tenha a mesma distância até A e até B , então precisamos fazer d A ,   X = d ( B ,   X ) tendeu?

Passo 2

Vamos igualar as distâncias:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

x - 1 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + z - 2 2

Abrindo os quadrados:

x 2 - 2 x + 1 + z 2 - 6 z + 9 = x 2 - 6 x + 9 + z 2 - 4 x + 4

4 x - 2 z = 3

Esse é o plano mediador do segmento A B .

Vamos ver um esboço do plano com os pontos equidistantes pra ficar mais claro:

Resposta

4 x - 2 z = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3