Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém os pontos A ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e B ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) e é perpendicular ao plano

π : 2 x + y - z + 8 = 0

Passo 1

Queremos determinar a equação geral do plano que contém os pontos A e B e ainda é perpendicular ao plano π , ou seja, forma 90 ° . Nossa de novo determinar a equação geral do plano??

Isso mesmo!! Porém, a cada questão estamos vendo que o enunciado pode nos dar diferentes dados e que mesmo assim conseguimos obter a equação geral ;).

Nessa questão, por exemplo, vamos nos basear pela figura a seguir.

Novamente, para determinar o plano que queremos temos duas opções: ter o vetor normal ao plano e um ponto pertencente a ele OU ter dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Pela figura, podemos ver que vamos ficar com a segunda opção, pois com os pontos A e B conseguimos formar o vetor A B → que é paralelo ao plano já que eles pertencem ao plano e também podemos notar que o vetor normal do plano π é paralelo ao plano que queremos determinar, pois os dois são perpendiculares.

Passo 2

Com tudo o que falamos, acho que deu para sacar que nossos dados serão o vetor n → , o A B → e um dos pontos A ou B que poderemos escolher qualquer um deles que o resultado será o mesmo. Vamos determinar então os vetores n → e A B → :

  A B → = B - A = - 3 ,   1 ,   - 2 - 1 ,   - 2 ,   2 = ( - 4 ,   3 ,   - 4 )

O vetor n → tiraremos da equação geral do plano π :

2 x + y - z + 8 = 0 → n → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )  

Por fim, o ponto que usaremos será o B = ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) , lembrando que poderia ser o A .

Passo 3

Agora, basta montarmos o produto misto entre os vetores B P → ,   n → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )   e A B → = ( - 4 ,   3 ,   - 4 ) . Sendo P = ( x ,   y ,   z ) um ponto genérico.

B P → = P - B = x ,   y ,   z - - 3 ,   1 ,   - 2 = ( x + 3 ,   y - 1 ,   z + 2 )

B P → ,   A B → ,   n → = x + 3 y - 1 z + 2 - 4 3 - 4 2 1 - 1 = 0

Resolvendo:

B P → ,   A B → ,   n → = x + 3 y - 1 z + 2 - 4 3 - 4 2 1 - 1 x + 3 y - 1 - 4 3 2 1

- 3 x + 3 - 8 y - 1 - 4 z + 2 - ( 6 z + 2 - 4 x + 3 + 4 y - 1 )

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

Prontinho, encontramos a equação geral do plano!!

Resposta

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3