Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Considere a reta r e os planos Π 1 ,   Π 2   e   Π 3 dados por:

r   =   {   1   +   t ,   2   -   t ,   1   +   t ∈ R 3   | t   ∈ R } ;

Π 1 =   x ,   y ,   z ∈ R 3   x + 2 y + a z = b }, onde a e b são constantes;

Π 2 =   x ,   y ,   z ∈ R 3   x - 2 y + c z = d } , onde c e d são constantes;

Π 3 =   x ,   y ,   z ∈   R 3   x + y   + e z   = f } , onde e e f   são constantes;

Assuma que Π 1 ∩ Π 2 ∩ Π 3 = r e determine os valores das constantes a ,   b ,   c ,   d ,   e e   f

Passo 1

Vamos reorganizar essa equação da reta aí que me deram pra gente poder entender tudo com mais facilidade.

r   =   {   1   +   t ,   2   -   t ,   1   +   t ∈ R 3   | t   ∈ R

Vamos separar esse vetorzão aí em dois caras: um que só tem os valores sem o t e outro com os valores que estão multiplicando o t, assim ó:

r → ( 1 + t , 2 - 1,1 + t ) = 1,2 , 1 + t ( 1 , - 1,1 )

Beleza, está mais parecida com o jeito que estamos acostumados, que é a equação vetorial da reta!!

Aí já até sabemos agora qual o seu vetor diretor, u = 1 , - 1,1 e, por ela ser a interseção dos planos, sabemos que esse vetor está contido em todos eles.

Agora vamos analisar as equações dos planos, de cara as equações cartesianas me dão uma informação muito útil: o vetor ortogonal ao plano é aquele que as coordenadas são os coeficientes das variáveis. Assim, o vetor ortogonal a Π 1 é n 1 = ( 1,2 , a ) , o ortogonal a Π 2 é n 2 = ( 1 , - 2 , c ) e o ortogonal a Π 3 é n 3 = ( 1,1 , e ) .

Passo 2

Agora, temos um vetor que pertence aos 3 planos ( u ) e mais 3 vetores ( n 1 , n 2 , n 3 ) : um ortogonal a cada plano. Faz sentido então que u seja perpendicular a esses três outros vetores. Assim:

u ⋅ n 1 = u ⋅ n 2 = u ⋅ n 3 = 0

Vamos resolver essas 3 equações aí:

u ⋅ n 1 = 0

( 1 , - 1,1 ) ⋅ ( 1,2 , a ) = 0

1 - 2 + a = 0 ⟹ a = 1

u ⋅ n 2 = 0

1 , - 1,1 ⋅ 1 , - 2 , c = 0

1 + 2 + c = 0 ⟹ c = - 3

u ⋅ n 3 = 0

1 , - 1,1 ⋅ 1,1 , e = 0

1 - 1 + e = 0 ⟹ e = 0

Obaa, 3 constantes já foram!

Passo 3

Agora vamos substituir o que achamos nas equações:

x + 2 y + z = b x - 2 y - 3 z = d x + y   = f

Você deve tá pensando: pô, mas isso não me leva a lugar nenhum, não sei os valores de   x ,   y   e z . Gente, temos o ponto 1,2 , 1 pertencente aquela reta que está contida nos três planos, podemos substituir ele aí!!

1 + 2 ⋅ 2 + 1 = b ⟹ b = 6

1 - 2 ⋅ 2 - 3 ⋅ 1 = d ⟹ d = - 6

1 + 2   = f ⟹ f = 3

Resposta

a = 1 , b = 6 ,   c = - 3 ,   d = - 6 ,   e = 0 e f = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3