Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere as retas em R 3

r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R }   e r 2   =   { ( 0 ,   - 2 ,   1 )   +   t ( 1 ,   0 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano Π que contém a reta r 1 e o ponto P   =   ( 2 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

Vamos lá, queremos achar o plano Π   que contém tanto o ponto P   =   2 ,   - 1 ,   1 quanto a reta r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R } .

Beleza, o que precisamos para achar a equação de um plano? 2 vetores diretores com 2 parâmetros e 1 ponto, certo?

Obs: isso aí vai me dar a equação paramétrica e o enunciado me pediu a equação cartesiana, mas não tem problema, já vimos que é muito tranquilo passar de um tipo de equação pra outro!

Passo 2

Ok, já sabemos o que precisamos, agora vamos analisar o que temos: tenho 2 pontos,   P   =   2 ,   - 1 ,   1 e o que está na equação da reta, 1 ,   0 ,   0 , além de 1 vetor diretor, 1 ,   1 ,   0   o que dita a direção de r 1 .

Não é bem o que queríamos né, mas é molezinha achar o outro vetor diretor com os nossos 2 pontos, lembrando que um vetor é extremidade menos origem. Vou então definir o ponto 2 ,   - 1 ,   1 como extremidade e o ( 1 ,   0 ,   0 ) como origem e achar:

u = 2 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 1 , - 1,1 )

Tá, agora você deve tá pensando, qual ponto eu boto na equação? Vamos usar o ponto que escolhemos como origem, blz!?

Π = { 1 ,   0 ,   0 +   t 1 ,   1 ,   0 + s ( 1 , - 1,1 ) | t , s   ∈ R } .

Passo 3

Agora é só transformar em equação cartesiana:

1 ,   0 ,   0 +   t 1 ,   1 ,   0 + s 1 , - 1,1 = 1 + t + s , t - s , s

x = 1 + t + s y = t - s z = s  

Substituindo na segunda equação s = z , fico com t = y + z e assim posso substituir os valores dos parâmetros t   e s na primeira equação:

x = 1 + y + z + z

x - y - 2 z = 1

Belezinha =D.

Resposta

x - y - 2 z = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3