Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 156-7.

Determinar a equação geral do plano que contém as retas

Equation e Equation

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de duas retas Equation e Equation e diz que essas duas retas estão no plano que queremos determinar a equação geral. Então, para achar a equação geral do plano devemos determinar dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Os dois vetores paralelos podemos obter por meio do vetor diretor de cada reta. Vamos começar, descobrindo qual é o vetor diretor de cada reta.

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Passo 2

A reta Equation está escrita na forma de equações reduzidas em função de Equation . Por meio delas conseguimos determinar o jeito genérico dos pontos pertencentes à reta:

Equation

Se encontrarmos 2 pontos da reta Equation , conseguimos formar o vetor diretor da mesma, assim:

Equation

Equation

Assim, o vetor diretor da reta Equation é:

Equation

Passo 3

A reta Equation nos é dada em equações paramétricas:, que por meio delas conseguimos tirar o vetor diretor:

Equation

Então, temos dois vetores:

Equation

Equation

Opa!!! Mas, esses dois vetores são paralelos, pois Equation , então não poderemos usar os dois para determinar o plano!! Como faremos então?

Bom, temos a seguinte figura que representa a situação que temos:

Se Equation e Equation são paralelos, podemos formar um outro vetor que não seja paralelo a eles pegando por exemplo um ponto de Equation e outro de Equation .

Assim, podemos pegar ou o ponto Equation ou o Equation de Equation e da reta Equation conseguimos por meio das suas equações paramétricas achar um ponto Equation . Escolhendo Equation , teríamos o vetor:

Equation

Assim, escolhendo Equation , entre Equation e Equation já que são proporcionais e o vetor Equation , teremos:

Equation

Equation

Bom,pelo menos não são proporcionais!!! Ufa!!

Escolhendo como ponto do plano o ponto Equation e os vetores Equation e Equation , agora sim, podemos fazer o produto misto e encontrar a equação geral do plano. Considerando mais uma vez Equation . Teremos Equation .

Equation

Equation

Pronto!! Chegamos na nossa tão sonhada equação do plano!! hehe

Resposta

Equation

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