Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 1 ,   - 3 ,   4 ) e é paralelo aos vetores v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha

O problema nos dá três informações: o ponto A = ( 1 ,   - 3 ,   4 ) que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano   v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido A e um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , e os vetores paralelos e igualar a zero.

Passo 2

Então, vamos montar o produto misto entre A P → ,     v 1 →   e     v 2 → . Antes, vamos determinar A P → .

A P → = P - A = x ,   y ,   z - 1 ,   - 3 ,   4 = x - 1 ,   y + 3 ,   z - 4

Passo 3

Agora que montamos o produto misto é só resolver:

x - 1 - 2 y + 3 - 3 z - 4 - ( z - 4 + 2 x - 1 + 3 y + 3 )

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0

Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por ( - 1 ) , que ficaria:

x + 5 y + 4 z - 2 = 0

As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.

Resposta

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0         o u       x + 5 y + 4 z - 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3