Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 152-4.

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 1 ,   - 3 ,   4 ) e é paralelo aos vetores v 1 = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

Esse exercício é para esquentarmos bem nossos motores!!haha

O problema nos dá três informações: o ponto A = ( 1 ,   - 3 ,   4 ) que pertence ao plano, e dois vetores paralelos ao plano   v 1 = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Pela teoria vimos que quando queremos a equação geral e temos um ponto e dois vetores paralelos ao plano basta fazermos o produto misto entre o vetor formado pelo ponto conhecido A e um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , e os vetores paralelos e igualar a zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos montar o produto misto entre A P ,     v 1   e     v 2 . Antes, vamos determinar A P .

A P = P - A = x ,   y ,   z - 1 ,   - 3 ,   4 = x - 1 ,   y + 3 ,   z - 4

Passo 3

Agora que montamos o produto misto é só resolver:

x - 1 - 2 y + 3 - 3 z - 4 - ( z - 4 + 2 x - 1 + 3 y + 3 )

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0

Pronto, chegamos no que queríamos, na equação geral do plano. Podemos também escrever a equação multiplicada por ( - 1 ) , que ficaria:

x + 5 y + 4 z - 2 = 0

As duas estão corretas, o que muda é o sentido do vetor normal, um está apontando para cima e o outro para baixo.

Resposta

- x - 5 y - 4 z + 2 = 0         o u       x + 5 y + 4 z - 2 = 0

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