Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-47.

Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

Equation e Equation

Passo 1

Num dos exercícios anteriores determinamos o ponto de interseção entre uma reta e um plano. Agora, queremos determinar a reta que é formada por meio da intereseção entre os planos Equation e Equation . Esse tipo de exercício tem duas formas básicas de resolução!! Vamos fazer as duas passo a passo para você entender direitinho e ver qual prefere para resolver!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar!!!

Primeira maneira: Equation

Sabemos que a reta interseção ela deve satisfazer as duas equações dos planos, então teremos um sistema de equações:

Equation

Com essas duas equações podemos determinar as equações reduzidas da reta interseção. Para isso, vamos escrever as equações em função de Equation . Assim, vamos somar as duas equações, para obter o Equation em função de Equation e depois multiplicar a equação Equation por Equation e somar com a equação Equation para obter Equation em função de Equation Fazendo essas manipulações, teremos:

Equation

Com essas equações sabemos que os pontos da reta interseção são:

Equation

Tendo o ponto genérico da reta, conseguimos determinar a reta sabendo dois pontos dela. Assim,

Equation

Equation

Um vetor diretor da reta possível é:

Equation

Equation

E escolhendo, um dos pontos Equation ou Equation , nos caso escolheremos Equation . Conseguimos escrever as equações paramétricas da reta:

Equation

Então as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos é:

Equation

Passo 3

Segunda maneira:

Se nós temos o vetor normal de cada um dos planos, e sabendo que o vetor diretor da reta da interseção é perpendicular entre os dois vetores normais, isso está me lembrando uma coisa!!! Para achar um vetor que seja normal à outros dois fazemos o produto vetorial entre o vetores normais e então encontraremos o vetor Equation . Assim, faremos:

Equation

Assim, pelas equações gerais acharemos Equation e Equation :

Equation e Equation

Equation

Agora, basta montarmos e resolvermos o produto vetorial:

Equation

Equation

Já sabemos o vetor diretor da reta, agora só falta descobrirmos um ponto pertencente à reta. Para isso vamos usar as duas equações dos planos:

Equation

Se a reta deve satisfazer essas duas equações, então se chutarmos pontos que satisfaçam às equações então elas pertencem à reta:

Equation

Somando as duas equações, temos:

Equation

Para descobrir Equation basta substituirmos em alguma das duas equações, vou escolher a primeira:

Equation

Portanto, um ponto que pertence à reta é:

Equation

Então, sabendo que o vetor diretor é Equation e o ponto Equation , podemos escrever as equações paramétricas da reta interseção:

Equation

Se você notar, o vetor diretor que achamos é o mesmo que encontramos com a primeira forma, porém multiplicado por Equation .

Resposta

Equation

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