Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0 e π 2 : x + y - z - 3 = 0

Passo 1

Num dos exercícios anteriores determinamos o ponto de interseção entre uma reta e um plano. Agora, queremos determinar a reta que é formada por meio da intereseção entre os planos π 1 e π 2 . Esse tipo de exercício tem duas formas básicas de resolução!! Vamos fazer as duas passo a passo para você entender direitinho e ver qual prefere para resolver!!

Passo 2

Vamos começar!!!

Primeira maneira:  

Sabemos que a reta interseção ela deve satisfazer as duas equações dos planos, então teremos um sistema de equações:

2 x - y - 3 z - 5 = 0     ( 1 ) x + y - z - 3 = 0               ( 2 )

Com essas duas equações podemos determinar as equações reduzidas da reta interseção. Para isso, vamos escrever as equações em função de x . Assim, vamos somar as duas equações, para obter o z em função de x e depois multiplicar a equação ( 2 )   por - 3 e somar com a equação 1 para obter y em função de x . Fazendo essas manipulações, teremos:

y = - x 4 + 1 z = 3 x 4 - 2

Com essas equações sabemos que os pontos da reta interseção são:

x ,   y ,   z = x , - x 4 + 1 , 3 x 4 - 2  

Tendo o ponto genérico da reta, conseguimos determinar a reta sabendo dois pontos dela. Assim,

S e   x = 0 → A = x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   - 2

S e   x = 1 → B = x ,   y ,   z = 1 ,   3 4 , - 5 4

Um vetor diretor da reta possível é:

A B → = B - A = 1 ,   3 4 , - 5 4 - 0 ,   1 ,   - 2 = 1 , - 1   4 ,   3 4

A B → = a ,   b ,   c = 1 , - 1   4 ,   3 4

E escolhendo, um dos pontos A ou B , nos caso escolheremos A = 0 ,   1 ,   - 2 . Conseguimos escrever as equações paramétricas da reta:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c → x = 0 + t 1 y = 1 - t 4 z = - 2 + 3 t 4  

Então as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos é:

x = t y = 1 - t 4 z = - 2 + 3 t 4

Passo 3

Segunda maneira:

Se nós temos o vetor normal de cada um dos planos, e sabendo que o vetor diretor da reta da interseção é perpendicular entre os dois vetores normais, isso está me lembrando uma coisa!!! Para achar um vetor que seja normal à outros dois fazemos o produto vetorial entre o vetores normais e então encontraremos o vetor v → . Assim, faremos:

n 1 → × n 2 → = v →

Assim, pelas equações gerais acharemos n 1 → e n 2 → :

π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0 e π 2 : x + y - z - 3 = 0

n 1 → = 2 ,   - 1 ,   - 3             e               n 2 → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Agora, basta montarmos e resolvermos o produto vetorial:

i → - 3 j → + 2 k → - - k → - 3 i → - 2 j → = 4 i → - j → + 3 k →

n 1 → × n 2 → = v → = ( 4 ,   - 1 ,   3 )

Já sabemos o vetor diretor da reta, agora só falta descobrirmos um ponto pertencente à reta. Para isso vamos usar as duas equações dos planos:

2 x - y - 3 z - 5 = 0 x + y - z - 3 = 0

Se a reta deve satisfazer essas duas equações, então se chutarmos pontos que satisfaçam às equações então elas pertencem à reta:

S e   x = 0 →   - y - 3 z - 5 = 0 + y - z - 3 = 0

Somando as duas equações, temos:

z = - 2

Para descobrir y basta substituirmos em alguma das duas equações, vou escolher a primeira:

- y - 3 . - 2 - 5 = 0 → y = 1

Portanto, um ponto que pertence à reta é:

A = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Então, sabendo que o vetor diretor é v → = ( 4 ,   - 1 ,   3 ) e o ponto A = ( 0 ,   1 ,   - 2 ) , podemos escrever as equações paramétricas da reta interseção:

x = 0 + 4 t y = 1 - t z = - 2 + 3 t

Se você notar, o vetor diretor que achamos é o mesmo que encontramos com a primeira forma, porém multiplicado por 4 .

Resposta

x = t y = 1 - t 4 z = - 2 + 3 t 4         o u     x = 4 t y = 1 - t z = - 2 + 3 t

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3