Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Determine a equação paramétrica da reta de interseção dos planos ∏ 1 : x + y - z = 0 e ∏ 2 : 2 x - y + 3 z = 1 .

Passo 1

Para encontrarmos a equação da reta que é dada pela interseção de dois planos, precisamos obter a solução do seguinte sistema:

r : x + y - z = 0 2 x - y + 3 z = 1

Portanto, um ponto P = x , y , z pertence a reta se ele satisfaz o sistema acima. Nosso trabalho é obter alguma forma de resolver o sistema acima, isto é, encontrar relações entre as variáveis x , y , z .

Para isto, vamos isolar o x na primeira linha e substituir na segunda. Portanto, obtemos:

r : x = - y + z 2 - y + z - y + 3 z = 1 ⟹ r : x = - y + z - 3 y + 5 z = 1

Isolando o y como função de z na segunda linha, obtemos:

y = - 1 3 + 5 z 3

Continuando, vamos substituir esta relação na primeira equação. Obtemos:

x = - y + z = - - 1 3 + 5 z 3 + z

x = 1 3 - 2 z 3

Portanto, o nosso sistema consiste em:

r : x = 1 3 - 2 z 3 y = - 1 3 + 5 z 3

Passo 2

Para finalizarmos a questão, vamos pegar estas relações e substituir nas coordenadas do nosso ponto P = x , y , z . Portanto,

x , y , z = 1 3 - 2 z 3 , - 1 3 + 5 z 3 , z

Separando o segundo membro em uma soma de vetores (tudo que envolve z separado dos números), temos:

x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + - 2 z 3 , 5 z 3 , z

Colocando o z em evidência, temos:

x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + z - 2 3 , 5 3 , 1

Chamando o nosso parâmetro livre z de λ (só para ficar semelhante a simbologia utilizada para as equações de reta, temos:

r : x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + λ - 2 3 , 5 3 , 1

Passo 3

Mas calma! Muito cuidado nesta hora! A questão pede para obtermos a equação paramétrica da reta, e não a equação vetorial (que foi obtida no final do passo anterior).

A equação paramétrica é obtida ao explicitarmos qual a relação para cada uma das coordenadas. Portanto, vamos somar a primeira coordenada do ponto com a do vetor, e assim por diante.

Desta forma, a equação paramétrica da reta é:

r : x = 1 3 - 2 λ 3 y = - 1 3 + 5 λ 3 z = λ

E agora sim acabamos a questão.

Resposta

r : x = 1 3 - 2 λ 3 y = - 1 3 + 5 λ 3 z = λ

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3