Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

Passo 1

O problema nos dá as 3 equações paramétricas do plano. E, nós queremos descobrir qual é a equação vetorial. Bateu o desespero? Calma, vamos devagar para você entender direitinho!!

Primeiro, temos que retirar todas as informações possíveis que estão nas equações paramétricas. Então, vamos começar!!

Passo 2

As equações paramétricas tem o seguinte formato:

x = x 1 + λ v 1 + µ u 1 y = y 1 + λ v 2 + µ u 2 z = z 1 + λ v 3 + µ u 3

Sendo que x 1 ,   y 1 ,   z 1 são as coordenadas de um ponto que pertence ao plano π e ( v 1 ,   v 2 ,   v 3 ) e ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 )   são as coordenadas dos vetores pertencentes ao plano. Sabendo disso e comparando com a equação paramétrica conseguimos obter esses dados.

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

Comparando, temos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = ( - 6 ,   - 1 ,   4 )

v 1 ,   v 2 ,   v 3 = ( 1 ,   7 ,   - 5 )

u 1 ,   u 2 ,   u 3 = ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Passo 3

Bom, na teoria vimos que a forma genérica da equação vetorial do plano é:

P = A + λ v → + µ u →

Sabemos que P é um ponto genérico P = ( x ,   y ,   z ) , o ponto A é um ponto conhecido pertencente ao plano, ou seja, A = ( - 6 ,   - 1 ,   4 ) e os vetores v → e u → são os vetores paralelos ao plano, v → = ( 1 ,   7 ,   - 5 ) e u → = - 1 ,   - 14 ,   2 .

Agora, é só substituirmos:

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Resposta

x ,   y ,   z = - 6 ,   - 1 ,   4 + λ 1 ,   7 ,   - 5 + µ ( - 1 ,   - 14 ,   2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3