Enunciado

Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A 2 ,   1 ,   - 1 ,   B ( 0 ,   - 1 ,   1 ) e C ( 1 ,   2 ,   1 ) .

Passo 1

Esse problema é parecido com o anterior que fizemos, pois o exercício nos pede novamente a equação geral do plano. Porém, o enunciado nos fornece 3 pontos que determinam o plano que queremos. Que estanho!! Como faço isso tendo apenas 3 pontos? Na teoria não lembro de ter visto nada disso!! Realmente, você ainda não viu!! Mas, você vai ver como é possível fazer isso!!

Passo 2

Vamos analisar a figura a seguir

Com os três pontos A ,   B e C pertencentes ao plano conseguimos formar dois vetores que sejam paralelos ao plano, por exemplo, os vetores A C → e A B → . Assim, teríamos dois vetores paralelos ao plano e ainda podemos escolher um dos 3 pontos para achar a equação geral do plano fazendo o produto misto.

Então, vamos primeiro calcular os vetores A C → e A B → .

A C → = C - A = 1 ,   2 ,   1 - 2 ,   1 ,   - 1 → A C → = ( - 1 ,   1 ,   2 )  

A B → = B - A = 0 ,   - 1 ,   1 - 2 ,   1 ,   - 1 → A B → = ( - 2 ,   - 2 ,   2 )

Passo 3

Agora, já temos dois vetores paralelos ao plano e não são paralelos entre si. Falta escolher um ponto para fazer o produto misto. Porquê eu quero vou escolher o ponto A = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) . Então, bora montar o produto misto. Lembrando que o terceiro vetor é formado pelo ponto A e o ponto genérico P = x ,   y ,   z que gera A P → = P - A = ( x - 2 ,   y - 1 ,   z + 1 ) .

2 x - 2 - 4 y - 1 + 2 z + 1 - - 2 z + 1 - 4 x - 2 - 2 y - 1

6 x - 2 y + 4 z - 6 = 0

Para tornar os índices os mais reduzidos podemos multiplicar por 1 2 e obteremos:

3 x - y + 2 z - 3 = 0

Prontinho, chegamos na equação geral. Lembrando que os vetores paralelos poderiam ter sido outros que o resultado daria no mesmo, bem como o ponto escolhido.

Ainda, há uma segunda forma de se resolver esse problema que é ao invés de zerar o produto misto, poderíamos fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano encontrados e assim acharíamos o vetor normal ao plano. Escolheríamos um ponto e substituiríamos direto na equação geral do plano a x + b y + c z + d = 0 .

Resposta

3 x - y + 2 z - 3 = 0

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