Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 153-5.

Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos Equation e Equation .

Passo 1

Esse problema é parecido com o anterior que fizemos, pois o exercício nos pede novamente a equação geral do plano. Porém, o enunciado nos fornece 3 pontos que determinam o plano que queremos. Que estanho!! Como faço isso tendo apenas 3 pontos? Na teoria não lembro de ter visto nada disso!! Realmente, você ainda não viu!! Mas, você vai ver como é possível fazer isso!!

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Passo 2

Vamos analisar a figura a seguir

Com os três pontos Equation e Equation pertencentes ao plano conseguimos formar dois vetores que sejam paralelos ao plano, por exemplo, os vetores Equation e Equation . Assim, teríamos dois vetores paralelos ao plano e ainda podemos escolher um dos 3 pontos para achar a equação geral do plano fazendo o produto misto.

Então, vamos primeiro calcular os vetores Equation e Equation .

Equation

Equation

Passo 3

Agora, já temos dois vetores paralelos ao plano e não são paralelos entre si. Falta escolher um ponto para fazer o produto misto. Porquê eu quero vou escolher o ponto Equation . Então, bora montar o produto misto. Lembrando que o terceiro vetor é formado pelo ponto Equation e o ponto genérico Equation que gera Equation .

Equation

Equation

Para tornar os índices os mais reduzidos podemos multiplicar por Equation e obteremos:

Equation

Prontinho, chegamos na equação geral. Lembrando que os vetores paralelos poderiam ter sido outros que o resultado daria no mesmo, bem como o ponto escolhido.

Ainda, há uma segunda forma de se resolver esse problema que é ao invés de zerar o produto misto, poderíamos fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos ao plano encontrados e assim acharíamos o vetor normal ao plano. Escolheríamos um ponto e substituiríamos direto na equação geral do plano Equation .

Resposta

Equation

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