Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Um plano em R 3 divide o espaço em duas partes, denominadas semiespaços. Considere o plano 3 x + y - z = 0 . Qual dos seguintes pontos encontra-se no mesmo semiespaço que o ponto 3,2 , 1 ?

(a) ( 0,1 , 2 )

(b) 1,2 , 7

(c) 4 , - 1,3

(d) ( - 3,2 , 2 )

Passo 1

Beleza, como a questão disse, um plano do R 3 divide o espaço em dois semiespaços.

Pra visualizar isso lembra do plano x y   do R 3 .

Todos os pontos desse plano têm coordenada z igual a 0.

Os pontos acima dele tem coordenadas z positiva e os pontos abaixo tem z negativo, certo??

Então vamos pensar no nosso plano 3 x + y - z = 0 como se fosse o plano xy dividindo o espaço em uma região positiva e outra negativa.

Passo 2

Pra ver de qual lado do plano um ponto está, vamos substituir as coordenadas ( x , y , z ) dele na equação do plano e avaliar se o resultado é positivo ou negativo.

Bora fazer isso pro ponto que foi dado no enunciado, que foi o 3,2 , 1 :

3 3 + 2 - 1 = 10 > 0

Opa, então vamos procurar nas alternativas um cara tal que, quando substituímos as coordenadas dele na equação do plano dado, o resultado também dê um número positivo.

Fazendo alternativa por alternativa:

(a) 3 0 + 1 - 2 = - 1 < 0

(b) 3 1 + 2 - 7 = - 2 < 0

(c) 3 4 + - 1 - 3 = 8 > 0

(d) 3 - 3 + 2 - 2 = - 9 < 0

Nota que o ponto da letra (c) foi o único que também deu positivo.

Então ele é o único que tá do mesmo lado do plano dado e vai ser a nossa resposta.

Resposta

(c) 4 , - 1,3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3