Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Prova de Segunda chamada da Unicamp. 1º semestre de 2013. Questão 4.

O ponto Equation tem coordenadas Equation e a reta Equation passa pelo ponto Equation e é paralela ao vetor Equation . Mostrar que Equation não pertence à reta Equation e determinar a equação do plano que contém Equation e Equation .

Passo 1

O enunciado nos fornece várias informações!! Vamos retirar!!

Dados: Equation Equation

Tendo esses dados devemos mostrar que o ponto Equation não pertence à reta Equation e também devemos determinar a equação do plano que contém Equation e Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar mostrando se o ponto Equation pertence ou não á reta Equation . Para isso, como vimos no tópico sobre “Estudo da Reta” devemos montar alguma das equações da reta e testar. Como temos o vetor diretor que é o paralelo a reta e um ponto, vou montar as equações simétricas da reta e testar o ponto Equation .

Equation

Substituindo os valores de Equation e Equation , temos:

Equation

Passo 3

Agora que já temos as equações simétricas da reta basta substituirmos os valores de Equation e verificar a validade das equações:

Equation

Portanto, mostramos que Equation não pertence à Equation

Passo 4

Para finalizar, devemos determinar a equação geral do plano que contém a reta Equation e o ponto Equation

A figura acima mostra o que temos de informações, ou seja, a reta Equation e o ponto Equation que pertence ao plano e sabemos que não pertence à Equation . Mas, vimos que para determinar um plano precisamos do vetor normal e um ponto, ouuu, de dois vetores paralelos ao plano e um ponto. Bem, essa segunda opção me parece a mais viável para o nosso caso!! Um vetor paralelo nós já temos que é o vetor Equation , mas precisamos de mais um!!! Como achar? Se encontrarmos um ponto pertencente à reta Equation e fizermos um vetor com o ponto Equation , teremos:

Então, bora achar o ponto Equation pertencente à reta Equation . Para isso vamos usar as equações simétricas que já achamos:

Equation

Se chutarmos que Equation , teremos que:

Equation

Então, devemos achar Equation e Equation de forma que a proporção seja Equation , assim:

Equation

Equation

Portanto, temos o ponto Equation .

Passo 5

Agora podemos encontrar o vetor Equation e então teremos as informações necessárias para encontrar a equação geral do plano.

Equation

Agora é só montar o produto misto entre o ponto Equation e um ponto genérico Equation e os vetores Equation e Equation .

Equation

Montando o produto misto, temos:

Equation

Resolvendo,

Equation

Equation

Vale ressaltar que o ponto da reta escolhido poderia ter sido qualquer outro, que o resultado deve ser o mesmo. Pois, o que importa realmente é que os dois vetores não sejam paralelos etre si e como o ponto Equation não pertence à Equation então não corremos esse risco ;)

Resposta

Equation

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