Enunciado

O ponto P tem coordenadas ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e a reta r passa pelo ponto P 0 ( 2 ,   4 ,   1 ) e é paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) . Mostrar que P não pertence à reta r e determinar a equação do plano que contém P e r .

Passo 1

O enunciado nos fornece várias informações!! Vamos retirar!!

Dados: P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) r e t a   r :   p a s s a   p o r   P 0 = 2 ,   4 ,   1 = ( x 1 ,     y 1 ,   z 1 ) p a r a l e l a   a o   v e t o r   v → = 1 ,   - 1 ,   2 = ( a ,   b ,   c )

Tendo esses dados devemos mostrar que o ponto P não pertence à reta r e também devemos determinar a equação do plano que contém P e r .

Passo 2

Vamos começar mostrando se o ponto P pertence ou não á reta r . Para isso, como vimos no tópico sobre “Estudo da Reta” devemos montar alguma das equações da reta e testar. Como temos o vetor diretor que é o paralelo a reta e um ponto, vou montar as equações simétricas da reta e testar o ponto P .

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Substituindo os valores de P 0 = 2 ,   4 ,   1 = ( x 1 ,     y 1 ,   z 1 ) e v → = 1 ,   - 1 ,   2 = ( a ,   b ,   c ) , temos:

x - 2 1 = y - 4 - 1 = z - 1 2

Passo 3

Agora que já temos as equações simétricas da reta basta substituirmos os valores de P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e verificar a validade das equações:

4 - 2 1 = 1 - 4 - 1 = - 1 - 1 2 → 2 ≠ 3 ≠ - 1

Portanto, mostramos que P não pertence à r

Passo 4

Para finalizar, devemos determinar a equação geral do plano que contém a reta r e o ponto P .  

A figura acima mostra o que temos de informações, ou seja, a reta r e o ponto P que pertence ao plano e sabemos que não pertence à r . Mas, vimos que para determinar um plano precisamos do vetor normal e um ponto, ouuu, de dois vetores paralelos ao plano e um ponto. Bem, essa segunda opção me parece a mais viável para o nosso caso!! Um vetor paralelo nós já temos que é o vetor v → , mas precisamos de mais um!!! Como achar? Se encontrarmos um ponto pertencente à reta r e fizermos um vetor com o ponto P , teremos:

Então, bora achar o ponto R pertencente à reta r . Para isso vamos usar as equações simétricas que já achamos:

x - 2 1 = y - 4 - 1 = z - 1 2

Se chutarmos que x = 1 , teremos que:

1 - 2 1 = - 1

Então, devemos achar y e z de forma que a proporção seja - 1 , assim:

y - 4 - 1 = - 1             e         z - 1 2 = - 1

y = 5           e       z = - 1

Portanto, temos o ponto R = ( 1 ,   5 ,   - 1 ) .

Passo 5

Agora podemos encontrar o vetor R P → e então teremos as informações necessárias para encontrar a equação geral do plano.

R P → = P - R = 4 ,   1 , - 1 - 1 ,   5 ,   - 1 = ( 3 ,   - 4 ,   0 )

Agora é só montar o produto misto entre o ponto P = 4 ,   1 ,   - 1 e um ponto genérico P ' = ( x ,   y ,   z ) e os vetores R P → e v → = 1 ,   - 1 ,   2 .

P P ' → = x ,   y ,   z - 4 ,   1 ,   - 1 = ( x - 4 ,   y - 1 ,   z + 1 )

Montando o produto misto, temos:

P P ' → ,   R P → ,   v → = x - 4 y - 1 z + 1 3 - 4 0 1 - 1 2 = 0

Resolvendo,

- 8 x - 4 + 0 - 3 z + 1 - ( - 4 z + 1 + 0 + 6 y - 1 ) = 0

- 8 x - 6 y + z + 39 = 0

Vale ressaltar que o ponto da reta escolhido poderia ter sido qualquer outro, que o resultado deve ser o mesmo. Pois, o que importa realmente é que os dois vetores não sejam paralelos entre si e como o ponto P não pertence à r então não corremos esse risco ;)

Resposta

- 8 x - 6 y + z + 39 = 0

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