Exercícios Resolvidos de Linhas de Campo Elétrico

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Enunciado

Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio R , como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por λ θ =   λ 0 sin ⁡ θ , onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar medido a partir do eixo X .

(c) Repita os dois itens acima, mas supondo agora que λ θ =   λ 0 cos ⁡ θ .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a carga total contida na linha de cargas que tem formato de semicírculo de raio R :

Para isso, temos que a carga total Q , primeiro temos que o elemento infinitesimal d q , que é dado por:

d q = λ   d l

Onde λ é a densidade linear de cargas e é dada por λ θ =   λ 0 cos ⁡ θ .

Além disso, d l é o elemento infinitesimal da linha, que é dado por d l = R   d θ .

Agora, temos que substituir esses valores e integrar no semicírculo!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo os valores, encontramos a seguinte relação:

d q = λ   d l ∴

d q = λ 0 cos ⁡ θ R   d θ

Logo, aplicando a integral no intervalo de 0 a π (que é o intervalo de um semicírculo), temos:

∫ d q = ∫ 0 π λ 0 R cos ⁡ θ   d θ ∴

Q = λ 0 R ∫ 0 π cos ⁡ θ   d θ ∴

Q = λ 0 R sin ⁡ θ π 0 ∴

Q = 0

Nesse mesmo sentido, como a carga total é zero, então não há campo elétrico resultante no centro do semicírculo, ou seja:

E = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Q = 0

E = 0

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