Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 3 uma transformação linear e seja A = 1 1 1 1 1 2 a matriz que representa T escolhendo as bases α = 1,0 , 1,1 para o domínio e β = 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 1,1 , 1 para o contra-domínio. A imagem do vetor 1,2 é

a   5,4 , 3

b   3,3 , 5

c   1,1 , 3

d   3,5 , 3

Passo 1

O enunciado nos dá:

T β ← α = 1 1 1 1 1 2

Ou seja, essa nossa T β ← α leva as coordenadas de um vetor ( x , y ) na base α para as coordenadas de T ( x , y ) na base β . Ou seja:

T u β = T β ⟵ α ∙ u α

Então se escrevermos 1,2 na base α :

1,2 = - 1 1,0 + 2 1,1

1,2 α = - 1,2

E aplicarmos ela na nossa matriz, teremos:

1 1 1 1 1 2 - 1 2 = 1 1 3 = 1,1 , 3 = T 1,2 β

O que queremos é T 1,2 , então basta passarmos T 1,2 β para a base canônica:

T 1,2 = 1 1,0 , 0 + 1 1,1 , 0 + 3 1,1 , 1 = 5,4 , 3

Resposta

Letra a

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Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Encontre a expressão da transformação linear T :R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,1 ,0 ) .
Dados T : U → V linear e injetora e u 1 , u 2 , … ,u k , vetores L I em U mostre que T u 1 ,… ,T ( u k ) é L I .
Seja T : V → W uma função. Mostre que:Se T é uma transformação linear, então T 0 = 0 Se T 0 ≠ 0 , então T não é uma transformação linear.
Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , MeH satisfazendo: T : R 3 → R 2 , sobrejetora. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 L : R 3 → R 2 , com I mL = 0,0 M : R 2 → R 2 ,