Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

Lista de exercícios - FEI

Calcular a EDO:

y ' = y + e x

No intervalo 0 x 1 , para y 0 = 0 e passo h = 0.5 . Resolver pelo método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Bom a gente precisa escrever as equações adaptadas ao problema. Então bora lá, tudo que tem y ' tem que estar do lado esquerdo da igualdade, enquanto tudo o que não tem linha deve estar do lado direito da igualdade. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:

y ' = f ( x , y )

Nesse nosso exercício o professor já deu a EDO nesse estilinho. =)

As equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema ficam desse jeito aqui:

K 1 = f x , y = y ( x ) + e x

Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a f x , y . Shooow!

K 2 = f ( x + h ,   y + h * K 1 )

Começou a ficar meio feio né. Mas o que essa fórmula aí quer dizer é o seguinte:

- Onde tiver escrito x , escreva x + h ;

- Onde tiver escrito y , escreva y + h * K 1 . E esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

Então, a equação ficou assim oh!

K 2 = e x + h + y + h * K 1

K 2 = e x + 0.5 + y + 0.5 * K 1

A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de y .

y x + h = y x + h 2 ( K 1 + K 2 )

y x + 0.5 = y x + 0.5 2 ( K 1 + K 2 )

Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Percebe que o passo na linha do x é h = 0.5 e sabemos do enunciado que y 0 = 0 que tá alí na primeira linha do y . As outras duas linhas são pra cada K que calcularmos. Beleza?!

Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar a tabela.

Coluna: x = 0

K 1 = 0 + e 0 = 1

K 2 = e 0.5 + 0 + 0.5 * 1 = 2.1487

Agora a gente aplica a equação para encontrar o próximo y .

y 0.5 = 0 + 0.5 2 1 + 2.1487 = 0.7872

Agora Coluna: x = 0.5

K 1 = 0.7872 + e 0.5 = 2.4359

K 2 = e 1 + 0.7872 + 0.5 * ( 2.4359 ) = 4.7234

y 1 = 0.7872 + 0.5 2 2.4359 + 4.7234 = 2.577

Resposta

y 1 = 2.577

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