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Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

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Enunciado

Dado o P V I :

y ' = x 2 y - y y 0 = 1

Calcule uma aproximação para y 0.5 com h = 0.25 usando o método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Temos:

y ' = x 2 y - y

y 0 = 1

x 0 = 0

E com passo h = 0.25 teremos o seguinte:

Só jogar na fórmula e fim de papo:

y n + 1 = y n + h 2 f x n , y n ⏟ k 1 n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n ⏟ k 2 n

Iteração 1 x = 0.2 5 :

k 1 0 = f x 0 , y 0 = x 0 2 y 0 - y 0 = - 1

k 2 0 = f x 1 , y 0 + h k 1 0 = x 1 2 y 0 + h k 1 0 - y 0 + h k 1 0 = - 0.70313

y 1 = y 0 + h 2 k 1 0 + k 2 0 = 0.78711

Iteração 2 x = 0 . 5 :

k 1 1 = f x 1 , y 1 = x 1 2 y 1 - y 1 = - 0.73792

k 2 1 = f x 2 , y 1 + h k 1 1 = x 2 2 y 1 + h k 1 1 - y 1 + h k 1 1 = - 0.45197

y 2 = y 1 + h 2 k 1 1 + k 2 1 = 0.63837

Passo 2

E chegamos na nossa aproximação:

y 0.5 ≅ 0.63837

Resposta

y 0.5 ≅ 0.63837

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