Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

Lista de exercícios - FEI

Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de c m g m i n . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: y ' t = c V - k y , onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é c V , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12   m g / m i n , V = 5 l e k = 0.12 , como calcular, pelo método de Euler aperfeiçoado, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1?

Passo 1

Oiiiie, logo de cara a gente precisa escrever as equações adaptadas ao problema. Então bora lá, tudo que tem y ' tem que estar do lado esquerdo da igualdade, enquanto tudo o que não tem linha deve estar do lado direito da igualdade. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:

y ' = f ( t , y )

Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.

Substituindo as constantes na EDO, ficamos com:

y ' t = c V - k y

y ' t = 12 5 - 0.12 y = 2.4 - 0.12 y

As equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema ficam desse jeito aqui oh:

K 1 = f t , y = 2.4 - 0.12 y

Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a f t , y . Shooow!

Já a equação de K 2   fica assim:

K 2 = f ( t + h ,   y + h * K 1 )

Caaalma, essa equação estranha quer dizer o seguinte oh:

- Onde tiver escrito t , escreva t + h ;

- Onde tiver escrito y , escreva y + h * K 1 . E esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

Então, a equação ficou assim oh!

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y + h * K 1 )

Como h = 1 , temos:

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y + K 1 )

A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de y .

y t + h = y t + h 2 ( K 1 + K 2 )

y t + 1 = y t + 1 2 ( K 1 + K 2 )

Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Percebe que o passo na linha do t é h = 1 e sabemos do enunciado que y 10 = 12.5 que tá alí na primeira linha do y . As outras duas linhas são pra cada K que calcularmos. Beleza?!

Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.

Coluna t = 10 :

K 1 = 2.4 - 0.12 * y 10

K 1 = 2.4 - 0.12 * 12.5 = 0.9

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y ( 10 ) + K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * 12.5 + 0.9 = 0.792

Agora a gente aplica a equação para encontrar y ( 11 ) .

y 11 = 12.5 + 1 2 0.9 + 0.792 = 13.35

Agora é só jogar tudo na tabelinha.

Bora pra próxima coluna t = 11 :

K 1 = 2.4 - 0.12 * y 11

K 1 = 2.4 - 0.12 * 13.35 = 0.799

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y ( 11 ) + K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * 13.35 + 0.799 = 0.703

Só aplicar a equação para encontrar y ( 12 ) agora.

y 12 = 13.35 + 1 2 0.799 + 0.703 = 14.10

Passando pra tabelinha, que ajuda a gente a não se perder...

Bora pra próxima coluna t = 12 :

K 1 = 2.4 - 0.12 * y 12

K 1 = 2.4 - 0.12 * 14.10 = 0.708

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y ( 12 ) + K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * 14.10 + 0.708 = 0.623

Só aplicar a equação para encontrar y ( 13 ) agora.

y 13 = 14.10 + 1 2 0.708 + 0.623 = 14.76

Passando tudo pra tabelinha do passo-a-passo:

Bora pra ÚLTIMA coluna, t = 13 :

K 1 = 2.4 - 0.12 * y 13

K 1 = 2.4 - 0.12 * 14.76 = 0.628

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y ( 13 ) + K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * 14.76 + 0.628 = 0.553

Só aplicar a equação para encontrar y ( 13 ) agora.

y 13 = 14.76 + 1 2 0.628 + 0.553 = 15.35

Finalizando a tabela ficamos com:

Dá pra ver aí que encontramos as concentrações de glicose (valores de y em verde) para cada instante de tempo pedido pelo professor!! Show de Bolinhas!!

Resposta

y 11 = 13.35

y 12 = 14.10

y 13 = 14.76

y 14 = 15.35

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