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Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

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Enunciado

Dada a equação diferencial T ' = t . c o s ( t + T ) calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Euler Aperfeiçoado. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.

Passo 1

Faala aeee, de cara já temos que olhar como a nossa EDO foi dada pelo professor. O ideal é que ela esteja separadinha, T ' de um lado e f ( t , T ) do outo. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:

T ' = f ( t , T )

Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.

Agora precisamos escrever as equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema.

K 1 = f t , T = t . c o s ( t + T )

Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a f t , T . Já a equação de K 2   é um pouco mais escrotinha, o formato dela é esse aqui:

K 2 = f ( t + h ,   y + h * K 1 )

Caaalma, essa equação do demoooo quer dizer o seguinte oh:

- Onde tiver escrito t , escreva t + h ;

- Onde tiver escrito T , escreva T + h * K 1 . E esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

Então, a equação ficou assim oh!

K 2 = t + 1 * c o s ⁡ [ t + 1 + ( T + K 1 ) ]

A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de y .

y t + h = y t + h 2 ( K 1 + K 2 )

y t + 1 = y t + 1 2 ( K 1 + K 2 )

Bora por tudo isso numa tabelinha então pra gente não se perder com tanta coisa.

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Na primeira linha o passo é h = 1 e sabemos do enunciado que T 1 = 3 que tá alí na primeira linha do T . Agora precisaremos encontrar K 1 e K 2   para encontrarmos T ( 2 ) e T ( 3 ) .

Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.

Coluna t = 1 :

K 1 = t * c o s ( t + T )

K 1 = 1 * c o s 1 + 3 = - 0.654

K 2 = t + 1 * c o s ⁡ [ t + 1 + ( T + K 1 ) ]

K 2 = 2 * cos ⁡ 2 + 3 + - 0.654 = - 0.716

Agora a gente aplica a equação para encontrar T ( 2 ) .

T 2 = 3 + 1 2 - 0.654 - 0.716 = 2.315

Agora é só jogar tudo na tabelinha.

Agora só ficou faltando achar o T ( 3 ) .

Bora pra próxima coluna t = 2 :

K 1 = t * c o s ( t + T )

K 1 = 2 * c o s 1 + 2.315 = - 0.774

K 2 = t + 1 * c o s ⁡ [ t + 1 + ( T + K 1 ) ]

K 2 = 3 * cos ⁡ 3 + 2.315 + - 0.774 = - 0.509

Agora a gente aplica a equação para encontrar T ( 3 ) .

T 3 = 2.315 + 1 2 - 0.774 - 0.509 = 1.674

Agora foiii hein, calculamos tudo!! Bora colocar na tabelinha.

Resposta

T 2 = 2.315

T 3 = 1.674

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