Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

Lista de exercícios - FEI

Calcular a EDO:

y ' = 1 x + y

No intervalo 1 x 2 , para y 0 = 2 e passo h = 0.5 . Resolver pelo método de Euler aperfeiçoado.

Passo 1

Faala aeee, já estamos com sorte logo de cara. O ideal é que a EDO esteja separadinha, y ' de um lado e f ( x , y ) do outo. Assim, a EDO deve estar escrita assim oh:

y ' = f ( x , y )

Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.

Agora precisamos escrever as equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema.

K 1 = f x , y = 1 x + y

A primeira foi só tranquilidade, é só copiar a f x , y . Já a equação de K 2   é mais barra pesada, o formato dela é esse aqui:

K 2 = f ( t + h ,   y + h * K 1 )

Caaalma, essa equação do demoooo quer dizer o seguinte oh:

- Onde tiver escrito x , escreva   x + h ;

- Onde tiver escrito y , escreva y + h * K 1 . E esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pedir.

Então, a equação ficou assim oh!

K 2 = 1 ( x + h ) + ( y + h * K 1 )

Como o passo h = 0.5 , temos:

K 2 = 1 ( x + 0.5 ) + ( y + 0.5 * K 1 )

A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de y .

y t + h = y t + h 2 ( K 1 + K 2 )

y t + 0.5 = y t + 0.5 2 ( K 1 + K 2 )

Vamos por todos os resultados numa tabelinha, pq a gente não é obrigado né a decorar tudo isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Na primeira linha o passo é h = 0.5 e sabemos do enunciado que y 1 = 2 que tá alí na primeira linha do y . Agora precisaremos encontrar K 1 e K 2   para encontrarmos y ( 1.5 ) e y ( 2 ) .

Agora é só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.

Coluna x = 1 :

K 1 = 1 x + y

K 1 = 1 1 + 2 = 3

K 2 = 1 ( x + 0.5 ) + ( y + 0.5 * K 1 )

K 2 = 1 ( 1 + 0.5 ) + 2 + 0.5 * 3 = 4.17

Agora a gente aplica a equação para encontrar y ( 1.5 ) .

y 1.5 = 2 + 0.5 2 3 + 4.17 = 3.792

Agora é só jogar tudo na tabelinha.

Agora só ficou faltando achar o y ( 2 ) .

Bora pra próxima coluna x = 1.5 :

K 1 = 1 x + y

K 1 = 1 1.5 + 3.792 = 4.458

K 2 = 1 ( x + 0.5 ) + ( y + 0.5 * K 1 )

K 2 = 1 ( 1.5 + 0.5 ) + 3.792 + 0.5 * 4.458 = 6.521

Agora a gente aplica a equação para encontrar y ( 2 ) .

y 2 = 3.792 + 0.5 2 4.458 + 6.521 = 6.54

Agora foiii hein, calculamos tudo!! Bora colocar na tabelinha.

Resposta

y 1.5 = 3.792

y 2 = 6.54

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