Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

9) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

x 2 1 - x 2 y ' ' + 1 - x y ' + 4 y = 0

a) x = 0 é um ponto singular...

b) x = 1 é um ponto singular...

Passo 1

Falaaaa galera... Beleza?

Nessa questão vamos classificar os pontos singulares da equação

x 2 1 - x 2 y ' ' + 1 - x y ' + 4 y =

E pra isso precisamos lembrar que, pra uma equação da forma

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dizemos que o ponto x 0 é singular regular se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Existem e são finitos.

Passo 2

Para a letra a vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 0 ,     P x = x 2 1 - x 2 , Q x = x 1 - x e R x = 4 :

lim x → 0 ⁡ x - 0 ( 1 - x ) x 2 1 - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 1 - x x 2 1 - x 2 = ∞

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 4 x 2 1 - x 2 = lim x → 0 ⁡ 4 x 2 x 2 1 - x 2 = 4

Como um dos limites diverge e vai pra infinito, então o ponto x 0 = 0 é um ponto singular irregular.

Passo 3

Para a letra b vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 1 ,     P x = x 2 1 - x 2 , Q x = x 1 - x e R x = 4 :

lim x → 1 ⁡ x - 1 ( 1 - x ) x 2 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ - 1 - x 2 x 2 1 - x 2 = - 1

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 4 x 2 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ 4 ( x - 1 ) 2 x 2 1 - x 2 = 4

Como os dois limites existem e são finitos, então x 0 = 1 é um ponto singular regular.

Matamos mais uma. Bora pra próxima?

Resposta

a) irregular

b) regular

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