Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria

Enunciado

Considere a equação diferencial

x 2 y ' ' + x 2 - 3 4 y = 0

(a) Mostre que x = 0 é ponto singular regular dessa equação.

(b) Calcule as raízes da equação indicial da equação.

(c) Obtenha a relação de recorrência da solução em série associada à maior das duas raízes encontradas no item (b) e calcule todos os coeficientes com índice ímpar.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi dada uma EDO descrita por

x 2 y ' ' + x 2 - 3 4 y = 0

No item a) temos que mostrar que o ponto em x = 0 é um ponto singular regular. Pra isso a gente usa um método que consiste em calcular

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P ( x ) ,     lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P ( x )

Se esses limites existirem e forem finitos, o ponto x 0 é um ponto singular regular.

No item b) vamos calcular as raízes da solução indicial da EDO que é dada por

r r - 1 + A r + B = 0

E por fim, no item c), temos que obter a relação de recorrência associadas a maior das duas raízes obtidas no item b) e calcular os coeficientes dos índices impares.

E aí. Preparado? 😎

Bora lá!

Passo 2

Uma EDO homogênea é dada por

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Comparando com a nossa EDO, vemos que

P x = x 2 Q x = 0 R x = x 2 - 3 4

Com isso, os limites que vimos no passo 1, para x 0 = 0 é

lim x → 0 ⁡ x - 0 0 x 2 = 0

Como Q x = 0 , esse limite vai ser 0 , ou seja, satisfaz nossa condição.

Para a outro limite

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 x 2 - 3 4 x 2

Simplificando nosso limite

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 - 3 4 x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 - 3 4

Substituindo x por 0 , temos

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P ( x ) = - 3 4

Logo esse limite também satisfaz nossa condição!

Ou seja, o ponto em x = 0 é um ponto singular regular!

Entendeu? 😁

Passo 3

Agora vamos obter as raízes da solução indicial da nossa EDO, vimos no passo 1 que a equação indicial é dada por

r r - 1 + A r + B = 0

Onde

A = lim x → x 0 ⁡ x Q x P x ,     B = lim x → x 0 ⁡ x 2 R x P x

Ou seja

A = 0

Já que Q x = 0

B = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 - 3 4 x 2 = - 3 4

Logo, nossa equação indicial é

r r - 1 - 3 4 = 0

r 2 - r - 3 4 = 0

Calculando as raízes dessa equação, vamos obter

r 1 = 3 2 ,     r 2 = - 1 2

Interessante, não é? 🤩

Passo 4

Por último, vamos obter a relação de recorrência para a maior raiz r , ou seja, para r 1

A relação de recorrência vai ser obtida substituindo a solução para este tipo de problema

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r

Temos que calcular y ' x e y ' ' x .

Derivando pelo método de derivação polinomial.

y ' x = ∑ n = 0 ∞ c n n + r x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ c n n + r n + r - 1 x n + r - 2

Substituindo na EDO

x 2 ∑ n = 0 ∞ c n n + r n + r - 1 x n + r - 2 + x 2 - 3 4 ∑ n = 0 ∞ c n x n + r = 0

Simplificando essa equação, vamos obter

∑ n = 0 ∞ c n n + r n + r - 1 x n + r + ∑ n = 0 ∞ c n x n + r + 2 - 3 4 ∑ n = 0 ∞ c n x n + r = 0

Temos que ter todos os x elevados à mesma potência, então vamos transladar o n do segundo somatório para n + 2

∑ n = 0 ∞ c n n + r n + r - 1 x n + r + ∑ n = 2 ∞ c n - 2 x n + r - 3 4 ∑ n = 0 ∞ c n x n + r = 0

Pra juntar os somatórios, temos que ter os mesmos índices de início e fim do somatório.

Com isso, vamos escrever os primeiros dois termos dos outros somatórios

c 0 r r - 1 x r + c 1 r + 1 r x 1 + r + ∑ n = 2 ∞ c n n + r n + r - 1 x n + r

3 4 c 0 x r + 3 4 c 1 x 1 + r + 3 4 ∑ n = 2 ∞ c n x n + r

Juntando os somatórios em um só, temos

c 0 x r r r - 1 + 3 4 + c 1 x 1 + r r + 1 r + 3 4 + ∑ n = 2 ∞ c n x n + r 1 + 3 4 n + r n + r - 1 + c n - 2 x n + r = 0

Equação gigante, não é?

Passo 5

Para essa equação ser satisfeita c 0 x r r r - 1 + 3 4 deve ser igual a 0 assim como c 1 x 1 + r r + 1 r + 3 4 e c n x n + r 1 + 3 4 n + r n + r - 1 + c n - 2 x n + r

Como x r e x 1 + r nunca vão ser 0 , podemos montar um sistema como

c 0 r r - 1 + 3 4 = 0 c 1 r + 1 r + 3 4 = 0 c n 1 + 3 4 n + r n + r - 1 + c n - 2 = 0

Como nosso r = 3 2 , vamos finalmente substitui-lo

Dessa forma, vamos ter

c 0 3 2 3 2 - 1 + 3 4 = 0 c 1 3 2 + 1 3 2 + 3 4 = 0 c n 1 + 3 4 n + 3 2 n + 3 2 - 1 + c n - 2 = 0

Simplificando o resultado da última equação, temos

c n 1 + 3 4 n + 3 2 n - 1 2 + c n - 2 = 0

Colocando c n isolado em um lado

c n = - c n - 2 1 + 3 4 n + 3 2 n - 1 2

Essa é nossa sonhada relação de recorrência!

Para qualquer valor de n ≥ 2 , podemos obter com essa relação.

Agora queremos obter todos os índices ímpares

Como c n depende de c n - 2 , os números impares dependem de c 1 e os pares de c 0 .

Sabemos que

c 1 3 2 + 1 3 2 + 3 4 = 0

Se o termo dento dos parênteses for diferente de 0 , obrigatoriamente c 1 deve ser 0 para satisfazer a equação.

3 2 + 1 3 2 + 3 4 = 9 2

Com isso, descobrimos que c 1 e por tabela, todos os índices impares são 0 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P ( x ) = 0 ,     lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P ( x ) = 0 , x 0 = 0

b) r 1 = 3 2 ,     r 2 = - 1 2

c) c n = - c n - 2 1 + 3 4 n + 3 2 n - 1 2 , c 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v