Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Utilizando a teoria de séries de potência, obtenha a solução geral da EDO abaixo.

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

Passo 1

Faaaala, pessoal! Dividindo-a por 2 x 2 , obtemos:

y ' ' + 3 / 2 x y ' + x 2 - 1 2 x 2 y = 0

Como nessa forma (coeficiente de y ' ' = 1 ) as funções 3 / 2 x e x 2 - 1 2 x 2 não estão definidas para x 0 = 0 não basta utilizar apenas a substituição por séries. Temos de usar o método de Frobenius! Este indica que para uma EDO na forma:

y ' ' + P x x - x 0 y ' + Q x x - x 0 2 y = 0

Que em nosso caso, temos P x = 3 / 2 e Q x = x 2 - 1 / 2 , devemos resolver a equação indicial:

t t - 1 + t P x 0 + Q x 0 = 0  

E a partir das raízes construir o resultado. Nosso caso, com x 0 = 0 é:

t t - 1 + 3 2 t - 1 2 = 0 ⇒ t 2 + t 2 - 1 2 = 0 ⇒

⇒ t = - 1 2 ± 1 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 1 2 2 = - 1 4 ± 1 2 9 4

⇒ t =   - 1   o u   ½

Passo 2

Feito isso, a solução depende se a diferença das raízes α 1   ,   α 2 é inteira ou não. Se α 1 - α 2 ∉ Z , teremos 2 soluções independentes:

u 1 x = x - x 0 a 1 ∑ a n x - x 0 n ,         c o m   a 0 = 1

u 2 x = x - x 0 a 2 ∑ b n x - x 0 n ,         c o m   b 0 = 1

Contudo, se a 1 - a 2 ∈ Z , temos de substituir u 2 por:

u 2 x = x - x 0 a 2 ∑ b n x - x 0 n + C u 1 l n ⁡ | x - x 0 |

Onde C é constante. No caso em mãos, as raízes diferem por 3 / 2 ∉ Z . Logo, teremos duas soluções independentes na forma:

u 1 x = x - 1 ∑ a n x n                                         u 2 x = x 1 2 ∑ b n x n

Basta determiná-las substituindo na EDO!

Passo 3

Supondo que x > x 0 = 0 , consideremos as soluções na forma x α ∑ a n x n com α ∈ - 1 , 1 2 e x = x , tal que derivando:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + α                             y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( n + α ) x n + α - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( n + α ) ( n + α - 1 ) x n + α - 2

E substituindo na EDO:

x 2 y ' ' + 3 x 2 y ' + x 2 - 1 / 2 y = 0

⇒ x 2 ∑ n = 0 ∞ a n n + α n + α - 1 x n + α - 2 + 3 2 x ∑ n = 0 ∞ a n n + α x n + α - 1 + x 2 - 1 / 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + α = 0

Reunindo alguns termos obtemos a equação indicial:

∑ n = 0 ∞ a n x n + α α α - 1 + 3 2 α - 1 2 ⏟ = 0 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + α n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n + ∑ n = 0 ∞ a n x n + α + 2 = 0

Transladando o último somatório, temos:

∑ n = 0 ∞ a n x n + α n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + α = 0

Reunindo os similares ( n ≥ 2 ), isolando os solitários a 0 , a 1 e zerando os coeficientes de x n + α , temos:

a 0 0 2 + 0 2 α - 1 + 3 2 0 = a 0 0 = 0

a 1 1 2 + 1 2 α - 1 + 3 2 = a 1 2 α + 3 2 = 0

a n n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n + a n - 2 = 0 ,     n ≥ 2

Como 2 α + 3 2 para α ∈ { - 1 ,   1 / 2 } , temos a 1 = 0 e, ainda, fixe a 0 = 1 . Ademais:

a n = - 1 n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n a n - 2 ,           n ≥ 2

Assim, a 1 = a 3 = … = a 2 k + 1 = 0 ,   enquanto os termos pares seguem a recorrência acima.

Passo 4

Supondo agora x < x 0 = 0 , consideremos as soluções na forma x α ∑ a n x n com α ∈ - 1 , 1 2 e x = - x , tal que derivando:

y = ∑ n = 0 ∞ - 1 α a n x n + α                             y ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 α a n ( n + α ) x n + α - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 α a n ( n + α ) ( n + α - 1 ) x n + α - 2

Contudo o fator - 1 α em uma EDO homogênea como a nossa não alterará a recorrência obtida:

x 2 y ' ' + 3 x 2 y ' + x 2 - 1 / 2 y = 0

Assim, para a = 1 / 2 , nossa recorrência para n ≥ 2 :

a n = - 1 n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n a n - 2 = - 1 n 2 + 3 2 n a n - 2

Com a 1 = a 3 = … = a 2 k + 1 = 0 e a 0 = 1 . Logo, para n = 2 k , k ∈ Z :

a 2 k   = - 1 4 k 2 + 3 k a 2 k - 2

a 2 k   = - 1 k 4 k + 3 a 2 k - 2   ,       k ≥ 1

a 2 k = - 1 k k ! 4 k + 3 ⋅ … ⋅ 7 , k ≥ 1 ,                             a 0 = 0

Enquanto para α = - 1 , nossa recorrência para n ≥ 2 :

a n = - 1 n 2 + n 2 α - 1 + 3 2 n a n - 2 = - 1 n 2 - 3 2 n a n - 2

Com a 1 = a 3 = … = a 2 k + 1 = 0 e a 0 = 1 . Logo, para n = 2 k , k ∈ Z :

a 2 k   = - 1 4 k 2 - 3 k a 2 k - 2

a 2 k   = - 1 k 4 k - 3 a 2 k - 2   ,       k ≥ 1

a 2 k = - 1 k k ! 4 k - 3 ⋅ … ⋅ 1 ,         k ≥ 1 ,                               a 0 = 0

Passo 5

A solução geral, pois, da EDO é dada por:

u x = c 1 u 1 x + c 2 u 2 x

⇒ u x = c 1 x - 1 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! 4 k - 3 ⋅ … ⋅ 1 x 2 k + c 2 x 1 2 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! 4 k + 3 ⋅ … ⋅ 7 x 2 k

Neste ponto, o método de Frobenius permite ressaltar que as soluções convergem e satisfazem a EDO em 0 < x - x 0 < r , onde r é o raio maior raio de convergência para a expansão em séries de P x = 3 / 2 e Q x = x 2 - 1 / 2 , as quais por serem polinomiais possuem r = ∞ . Isto é:

“As séries convergem e são solução da EDO para todo x tal que 0 < | x |

Resposta

u x = c 1 x - 1 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! 4 k - 3 ⋅ … ⋅ 1 x 2 k + c 2 x 1 2 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! 4 k + 3 ⋅ … ⋅ 7 x 2 k

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