Exercícios Resolvidos de Método de Householder

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Enunciado

Aplique as transformações de Householder à matriz 4   × 4 para calcular A ( 2 ) (primeira iteração).

A = 8 3 2 - 2 2 4 1 2 - 3 0 9 - 5 6 7 0 1

Passo 1

Para a primeira aplicação de uma transformação de Householder temos que α e r , que são:

α = - s g n a k + 1 ,     k k ∑ j = k + 1 n a j k k 2 1 2

r = 1 2 α 2 - a k + 1 ,   k k α

No nosso caso, ainda estamos em k = 1 :

α = - s g n ( a 21 ) ∑ j = 2 n a j 1 2

r = 1 2 ( α 2 - a 21 α )

Onde:

α = - 2 ∑ j = 2 4 a j 1 2 1 2 = - 14

r = 1 2 - 14 2 - 2 - 14 1 / 2 = 112

Passo 2

Para escrever o vetor v 1 fazemos:

v 1 =   0

Para v 2 :

v k + 1 k = a k + 1 , k k - α 2 r

v 2 =   2 - ( - 14 ) 2 . 112 = 8 112

Para o v 3 e o v 4 :

v j k = a j k k 2 r , j = k + 2 ,   k + 3 , … n

v 3 = - 3 2 . 112 = - 1,5 112

v 4 = 6 2 . 112 = 3 112

Vetor:

v 1 =   0 8 112 - 1,5 112 3 112 T

Passo 3

Então calculamos:

P k = I - 2 v k v k T

P 1 = I -   2 v 1 v 1 T

P ( 1 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 0 8 112 - 1,5 112 3 112 0 8 112 - 1,5 112 3 112

P ( 1 ) = 1 0 0 0 0 - 1 / 7 3 / 14 - 3 / 7 0 3 / 14 107,5 / 112 9 / 112 0 - 3 / 7 - 9 / 112 47 / 56

Passo 4

Então calculamos:

A ( 2 ) = P 1 A P 1

1 0 0 0 0 - 1 / 7 3 / 14 - 3 / 7 0 3 / 14 107,5 / 112 9 / 112 0 - 3 / 7 - 9 / 112 47 / 56 . 8 3 2 - 2 2 4 1 2 - 3 0 9 - 5 6 7 0 1 . 1 0 0 0 0 - 1 / 7 3 / 14 - 3 / 7 0 3 / 14 107,5 / 112 9 / 112 0 - 3 / 7 - 9 / 112 47 / 56

A ( 2 ) = 8 0,8571 2,7232 - 2,8036 - 3,5 1,6582 1,0922 0,1754 - 1,9687 3,5328 9,146 - 3,4977 4,4196 - 1,3333 - 0,2448 - 1,5535

Resposta

A ( 2 ) = 8 0,8571 2,7232 - 2,8036 - 3,5 1,6582 1,0922 0,1754 - 1,9687 3,5328 9,146 - 3,4977 4,4196 - 1,3333 - 0,2448 - 1,5535