Exercícios Resolvidos de Método de Householder

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Enunciado

Continue com as transformações de Householder à matriz 4   × 4 para calcular A ( 3 ) (primeira iteração).

A = 1 0 0 0 - 1 0,75 - 1 - 1,5 0 - 0,5 3 6 0 - 2 5 0

Passo 1

Para a primeira aplicação de uma transformação de Householder temos que α e r , que são:

α = - s g n a k + 1 ,     k k ∑ j = k + 1 n a j k k 2 1 2

r = 1 2 α 2 - a k + 1 ,   k k α

Como estamos em k = 2 :

α = - s g n ( a 32 ( 2 ) ) ∑ j = 3 n a j 2 2 2

r = 1 2 ( α 2 - a 32 ( 2 ) α )

α = - - 0,5 ∑ j = 3 4 a j 2 2 2 1 2 = 1,0308

r = 1 2 1,0308 2 - ( - 0,5 ) 1,0308 = 0 , 8882

Passo 2

Para escrever o vetor v ( 2 ) fazemos:

v 1 2 =   0

v 2 2 = 0

Para o v 3 2 :

v k + 1 k = a k + 1 , k k - α 2 r

v 3 2 = - 0,5 - 1,0308 ( 2 ) ( 0,8882 ) = - 0,8617

E o v 4 2 :

v j k = a j k k 2 r , j = k + 2 ,   k + 3 , … n

v 4 2 = - 2 ( 2 ) ( 0,8882 ) = - 1,1259

Vetor:

v =   0 0 - 0,8617 - 1,1259 T

Passo 3

Então calculamos:

P ( k ) = I - 2 v ( k ) v ( k ) T

P ( 2 ) = I -   2 v 2 v 2 T

P ( 2 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 0 0 - 0,8617 - 1,1259 0 0 - 0,8617 - 1,1259

P ( 2 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 0,4851 - 1,9404 0 0 - 1,9404 - 1,5353

Passo 4

Então calculamos:

A ( 2 ) = P 2 A P 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 0,4851 - 1,9404 0 0 - 1,9404 - 1,5353 . 1 0 0 0 - 1 0,75 - 1 - 1,5 0 - 0,5 3 6 0 - 2 5 0 . 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 0,4851 - 1,9404 0 0 - 1,9404 - 1,5353

A ( 3 ) = 1 0 0 0 - 1 0,75 3,3957 4,2434 0 4,1233 11,0595 23,1173 0 4,0408 29,1383 44,0652

Resposta

A ( 3 ) = 1 0 0 0 - 1 0,75 3,3957 4,2434 0 4,1233 11,0595 23,1173 0 4,0408 29,1383 44,0652