Exercícios Resolvidos de Método de Householder

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Enunciado

Aplique as transformações de Householder à matriz simétrica 4   × 4 para calcular A ( 2 ) na primeira iteração que produz uma matriz simétrica semelhante a A .

A = 4 1 - 2 2 1 2 0 1 - 2 0 3 - 2 2 1 - 2 - 1

Passo 1

Para a primeira aplicação de uma transformação de Householder temos que α e r , que são:

α = - s g n a k + 1 ,     k k ∑ j = k + 1 n a j k k 2 1 2

r = 1 2 α 2 - a k + 1 ,   k k α

No nosso caso, ainda estamos em k = 1 :

α = - s g n ( a 21 ) ∑ j = 2 n a j 1 2

r = 1 2 ( α 2 - a 21 α )

Onde:

α = - 1 ∑ j = 2 4 a j 1 2 1 2 = - 3

r = 1 2 - 3 2 - 1 - 3 1 / 2 = 6

Passo 2

Para escrever o vetor v 1 fazemos:

v 1 =   0

Para v 2 :

v k + 1 k = a k + 1 , k k - α 2 r

v 2 =   1 - ( - 3 ) 2 . 6 = 6 3

Para o v 3 e o v 4 :

v j k = a j k k 2 r , j = k + 2 ,   k + 3 , … n

v 3 = - 2 2 . 6 = - 6 6

v 4 = 2 2 . 6 = 6 6

Vetor:

v 1 =   0 6 3 - 6 6 6 6 T

Passo 3

Então calculamos:

P k = I - 2 v k v k T

P 1 = I -   2 v 1 v 1 T

P ( 1 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 0 6 3 - 6 6 6 6 0 6 3 - 6 6 6 6

P ( 1 ) = 1 0 0 0 0 - 1 / 3 2 / 3 - 2 / 3 0 2 / 3 2 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3

Passo 4

Então calculamos:

A ( 2 ) = P 1 A P 1

1 0 0 0 0 - 1 / 3 2 / 3 - 2 / 3 0 2 / 3 2 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 . 4 1 - 2 2 1 2 0 1 - 2 0 3 - 2 2 1 - 2 - 1 . 1 0 0 0 0 - 1 / 3 2 / 3 - 2 / 3 0 2 / 3 2 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3

A ( 2 ) = 4 - 3 0 0 - 3 10 / 3 1 4 / 3 0 1 5 / 3 - 4 / 3 0 4 / 3 - 4 / 3 - 1

Resposta

A ( 2 ) = 4 - 3 0 0 - 3 10 / 3 1 4 / 3 0 1 5 / 3 - 4 / 3 0 4 / 3 - 4 / 3 - 1