Exercícios Resolvidos de Método de Householder

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Enunciado

O exercício anterior foi bem extenso né? Mas ainda falta um bom tanto para acabar. Agora, utilizando o exercício anterior, calcule o A ( 3 ) do problema anterior. Lembrando que:

A ( 2 ) = 4 - 3 0 0 - 3 10 / 3 1 4 / 3 0 1 5 / 3 - 4 / 3 0 4 / 3 - 4 / 3 - 1

Passo 1

Para a primeira aplicação de uma transformação de Householder temos que α e r , que são:

α = - s g n a k + 1 ,     k k ∑ j = k + 1 n a j k k 2 1 2

r = 1 2 α 2 - a k + 1 ,   k k α

Como estamos em k = 2 :

α = - s g n ( a 32 ( 2 ) ) ∑ j = 3 n a j 2 2 2

r = 1 2 ( α 2 - a 32 ( 2 ) α )

α = - 1 ∑ j = 3 4 a j 2 2 2 1 2 = - 5 3

r = 1 2 - 5 3 2 - a 32 2 - 5 3 = 2 5 3

Passo 2

Para escrever o vetor v ( 2 ) fazemos:

v 1 2 =   0

v 2 2 = 0

Para o v 3 2 :

v k + 1 k = a k + 1 , k k - α 2 r

v 3 2 = 2 5

E o v 4 2 :

v j k = a j k k 2 r , j = k + 2 ,   k + 3 , … n

v 4 2 = 5 5

Vetor:

v =   0 0 2 5 5 5 T

Passo 3

Então calculamos:

P ( k ) = I - 2 v ( k ) v ( k ) T

P ( 2 ) = I -   2 v 2 v 2 T

P ( 2 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 0 0 2 5 5 5 0 0 2 5 5 5

P ( 2 ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 3 / 5 - 4 / 5 0 0 - 4 / 5 3 / 5

Passo 4

Então calculamos:

A ( 2 ) = P 2 A P 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 3 / 5 - 4 / 5 0 0 - 4 / 5 3 / 5 . 4 1 - 2 2 1 2 0 1 - 2 0 3 - 2 2 1 - 2 - 1 . 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 3 / 5 - 4 / 5 0 0 - 4 / 5 3 / 5

A ( 3 ) = 4 - 3 0 0 - 3 10 / 3 - 5 / 3 0 0 - 5 / 3 - 33 / 25 68 / 75 0 0 68 / 75 149 / 75

Resposta

A ( 3 ) = 4 - 3 0 0 - 3 10 / 3 - 5 / 3 0 0 - 5 / 3 - 33 / 25 68 / 75 0 0 68 / 75 149 / 75