Exercícios Resolvidos de Método de Householder

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Enunciado

Verdadeiro e falso.

A matriz de Householder ter as seguintes características:

  1. Não é uma matriz hermitiana e P ≠ P H .
  2. É uma matriz unitária onte P - 1 = P H .
  3. A matriz de Householder tem autovalores diferentes de 1.

Passo 1

  1. Não é uma matriz hermitiana e P ≠ P H .
  2. Falso. A matriz é realmente uma matriz hermitiana que basicamente é aquela matriz que é idêntica a sua transposta.

    Passo 2

  3. É uma matriz unitária onte P - 1 = P H .
  4. Verdadeiro. Trata-se de uma matriz n × n U que satisfaz   U * U = U U * = I n .

    Passo 3

  5. A matriz de Householder tem autovalores diferentes de 1.

Falso. Uma matriz de Householder tem autovalores ±   1 . Para ver isto, note que se u é ortogonal ao vetor v   que foi utilizado para criar o refletor, então P   u   =   u , ou seja, 1 autovalor de multiplicidade n   -   1 , uma vez que existem n   -   1 vetores linearmente independentes ortogonais a v   . Além disso, observe que P   v   =   -   v e assim –   1 é um autovalor com multiplicidade.

Resposta

(a) F

(b) V

(c) F