Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

USP, Cálculo 4, P3 - 2014, Questão 2b

Passo 1

Vamos resolver essa EDO usando o Wronskiano. Mas calma, vamos fazer o passo a passo!

Primeiro vamos escrever essa EDO da seguinte forma:

A x y ' ' + B x y ' + C x y = 0

Onde:

A x = 2 x 2 B x = 2 x - 4 x 2 C x = 3 x 2 - 2 x - 2

Agora seja y 1 e y 2 soluçoes LI dessa equação, então podemos escrever:

W x = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

E temos a seguinte relação:

W ' x =   - B x A x W x ⟹ W x = C e ∫ - B x A x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Entao, podemos saber y 2 sabendo que y 1 = x e x e C = 1 então:

x e x y 2 x + 1 e x y 2 ' =   e ∫ - 2 x - 4 x 2 2 x 2

Resolvendo o determinante e a integral temos:

y 2 ' - x + 1 x y 2 = e x x 2

Agora temos uma EDO de primeira ordem!

Passo 3

Agora temos que resolver essa EDO. Vamos utilizar o método do fator integrante.

Assim:

μ x = e ∫ - x + 1 x = e - x x  

Agora vamos multiplicar a equação pelo fator integrante:

e - x x y 2 ' - e - x x ⋅ x + 1 x y 2 = 1 x 3

y 2 e - x x ' = 1 x 3   ∴ y 2 = - e x 2 x

Assim temos que a solução geral da equação é :

y = y 1 + y 2

y = C 1 x e x + C 2 e x 2 x

Resposta

y = C 1 x e x + C 2 e x 2 x

C 1 ,   C 2 ∈ R

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