Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Passo 1

O método de redução de ordem nos diz que a nossa solução será na forma

y 2 x = ϕ x y 1 ( x )

y 2 x = ϕ e - 2 x

Vamos calcular y ' ' para substituir na nossa equação.

y 2 ' = ϕ ' e - 2 x - 2 ϕ e - 2 x

y 2 ' ' = ϕ ' ' e - 2 x - 2 ϕ ' e - 2 x - 2 ϕ ' e - 2 x + 4 ϕ e - 2 x

y 2 ' ' = ϕ ' ' e - 2 x - 4 ϕ ' e - 2 x + 4 ϕ e - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo a derivada na nossa EDO.

1 + 2 x y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

1 + 2 x ϕ ' ' e - 2 x - 4 ϕ ' e - 2 x + 4 ϕ e - 2 x + 4 x ϕ ' e - 2 x - 2 ϕ e - 2 x - 4 ϕ e - 2 x = 0

e - 2 x 1 + 2 x ϕ ' ' - 4 ϕ ' + 4 ϕ + 4 x e - 2 x ϕ ' - 2 ϕ - 4 ϕ e - 2 x = 0

1 + 2 x ϕ ' ' - 4 ϕ ' + 4 ϕ + 4 x ϕ ' - 2 ϕ - 4 ϕ = 0

ϕ ' ' - 4 ϕ ' + 4 ϕ + 2 x ϕ ' ' - 8 x ϕ ' + 8 x ϕ + 4 x ϕ ' - 8 x ϕ - 4 ϕ = 0

Por fim

ϕ ' ' 1 + 2 x - ϕ ' 4 + 4 x = 0

Para colocar essa equação no formato de EDO de primeira ordem, vamos fazer uma substituição.

u = ϕ '

u ' = ϕ ' '

u ' 1 + 2 x - 4 u 1 + x = 0

Passo 3

Agora só precisamos resolver a EDO linear de primeira ordem normalmente. Neste caso temos uma EDO separável.

u ' 1 + 2 x - 4 u 1 + x = 0

d u d x ( 1 + 2 x ) = 4 u ( 1 + x )  

d u u = 4 1 + x ( 1 + 2 x ) d x

Integrando de ambos os lados

ln ⁡ u = 2 x + ln ⁡ ( 1 + 2 x ) + C

u = C e 2 x ( 1 + 2 x )

Passo 4

Precisamos então encontrar ϕ a partir de u .

ϕ ' = u

ϕ ' = C e 2 x ( 1 + 2 x )

Integrando os dois lados teremos e tomando C = 1

ϕ = e 2 x x

Como

y 2 = ϕ e - 2 x

y 2 = e 2 x x e - 2 x

y 2 = x

Resposta

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